OBMEP- Nível 3 (tabuleiro bacana)

por **Emanuel Dias** Sáb 28 Set 2019, 20:31

Um tabuleiro é preenchido com as letras A,B,C e D. O tabuleiro é chamado bacana se em todos os quadrados 2x2 forem vistos as letras ABCD. A figura 1 é um tabuleiro bacana, a figura 2 não é um tabuleiro bacana.

OBMEP- Nível 3 (tabuleiro bacana) Screen99

É possível formar quantos tabuleiros 2x8 de modo que seja bacana?

por k3amartinuzzo Sáb 28 Set 2019, 20:43

512.

Basicamente vc tem que pensar que a cada 2 colunas adjacentes forma-se 1 quadrado bacana.

Assim na primeira coluna vocÊ possui 4 opções de preenchimentos em pares (X,Y) >>> escolhendo duas ( A, B , C, D )

Já na segunda, apenas 2 modos ( já que as letras tem que ser diferentes ).

Se você observar bem, em todas as próximas colunas (6) também haverá 2 possibilidades.

Logo o resultado total de tabuleiros é : 4 x 2 x 2^6 = 512.

por **Emanuel Dias** Sáb 28 Set 2019, 20:50

OBMEP- Nível 3 (tabuleiro bacana) Scree100

Eu pensei assim: Um quadrado 2x2 qualquer pode ser preenchido de 4x3x2x1 formas (permutações de A,B,C e D) a coluna imediatamente ao lado pode ser preenchida de 2x1 modos ( não pode as 2 já escolhida ao lado) e isso vai se repetindo 6 vezes.

12*2^7= 1536

O que está errado nesse raciocínio?

por **Emanuel Dias** Sáb 28 Set 2019, 20:54

k3amartinuzzo escreveu:512.

Basicamente vc tem que pensar que a cada 2 colunas adjacentes forma-se 1 quadrado bacana.

Assim na primeira coluna vocÊ possui 4 opções de preenchimentos em pares (X,Y) >>> escolhendo duas ( A, B , C, D )

Já na segunda, apenas 2 modos ( já que as letras tem que ser diferentes ).

Se você observar bem, em todas as próximas colunas (6) também haverá 2 possibilidades.

Logo o resultado total de tabuleiros é : 4 x 2 x 2^6 = 512.

Não compreendi a parte em negrito. Tem como desenvolver um pouco mais?

por ShardieK Dom 29 Set 2019, 13:36

k3amartinuzzo escreveu:512.

Basicamente vc tem que pensar que a cada 2 colunas adjacentes forma-se 1 quadrado bacana.

Assim na primeira coluna vocÊ possui 4 opções de preenchimentos em pares (X,Y) >>> escolhendo duas ( A, B , C, D )

Já na segunda, apenas 2 modos ( já que as letras tem que ser diferentes ).

Se você observar bem, em todas as próximas colunas (6) também haverá 2 possibilidades.

Logo o resultado total de tabuleiros é : 4 x 2 x 2^6 = 512.

4 opções de preenchimentos com pares... exceto que são 6 as combinações possíveis (AB, AC, AD, BC, BD, CD), e a ordem (cima/baixo, baixo/cima) delas na coluna também influenciaria, não? Então, só na primeira coluna, há 12 opções de preenchimentos diferentes.
O resto é realmente 7 colunas com 2 opções cada, o que nos levaria a 12 x 2^7 = 1536.

Tente explicar o vosso raciocínio mais detalhadamente, se possível. Obrigado.

por ShardieK Dom 29 Set 2019, 13:37

Emanuel Dias escreveu:

Eu pensei assim: Um quadrado 2x2 qualquer pode ser preenchido de 4x3x2x1 formas (permutações de A,B,C e D) a coluna imediatamente ao lado pode ser preenchida de 2x1 modos ( não pode as 2 já escolhida ao lado) e isso vai se repetindo 6 vezes.

12*2^7= 1536

O que está errado nesse raciocínio?

Também não entendi o que poderia estar errado aí, tanto que foi o mesmo raciocínio que empreguei.

por **Emanuel Dias** Dom 29 Set 2019, 13:52

ShardieK escreveu:
Emanuel Dias escreveu:

Eu pensei assim: Um quadrado 2x2 qualquer pode ser preenchido de 4x3x2x1 formas (permutações de A,B,C e D) a coluna imediatamente ao lado pode ser preenchida de 2x1 modos ( não pode as 2 já escolhida ao lado) e isso vai se repetindo 6 vezes.

12*2^7= 1536

O que está errado nesse raciocínio?
Também não entendi o que poderia estar errado aí, tanto que foi o mesmo raciocínio que empreguei.

Da até para generalizar para nxm qualquer. O mais triste é que eu fiz certo, inclusive escrevi os números no desenho e no cálculo fiz 12x2^6 em vez de 12x2^7. Sad.

por ShardieK Dom 29 Set 2019, 14:17

Emanuel Dias escreveu:
ShardieK escreveu:
Emanuel Dias escreveu:

Eu pensei assim: Um quadrado 2x2 qualquer pode ser preenchido de 4x3x2x1 formas (permutações de A,B,C e D) a coluna imediatamente ao lado pode ser preenchida de 2x1 modos ( não pode as 2 já escolhida ao lado) e isso vai se repetindo 6 vezes.

12*2^7= 1536

O que está errado nesse raciocínio?
Também não entendi o que poderia estar errado aí, tanto que foi o mesmo raciocínio que empreguei.

Da até para generalizar para nxm qualquer. O mais triste é que eu fiz certo, inclusive escrevi os números no desenho e no cálculo fiz 12x2^6 em vez de 12x2^7. Sad.

Eh. Não sei dizer se meu raciocínio está certo anyway.
Ainda bem que eles valorizam sua resolução se esta for lógica, ainda que não ganhe as pontuações máximas;
Mas como essa parte de generalizar não era obrigatória, acredito, não vai te tirar nada.
Considerei colocar também como um extra, mas o tempo em si já é meio curto pra fazer a prova, então... *ainda que justo