XLOlimpíada Brasileira Mat. - Nível Universitária Q2

2. (OBMU-2018) Sejam f, g : R → R funções tais que f(x + g(y)) = −x + y + 1 para cada par de núumeros reais x e y.
Qual é o valor de g(x + f(y))? 

(a) x + y − 1 
(b) x − y + 1 
(c) −x + y + 1 
(d) −x + y − 1

Quero saber se estou certo:

para x=0:                 
f(g(y))=y+1

A partir dessa função eu concluí por intuição que f(x)= - x e que g(y)= y+1 (Quero saber se isso está certo e como eu poderia concluir de forma mais formal).

f(y)=-y
então g(x+f(y)) = (x - y) + 1
         g(x+f(y)) = x - y + 1

A resposta seria letra B. 

Está certo?

Oi, Kluyvert

Como se trata de uma questão objetiva, sem dúvidas uma saída seria encontrar um par de funções que satisfazem ao enunciado e calcular a expressão pedida. Contudo, acredito que apenas uma substituição seja pouco para você concluir alguma coisa. Repare que as funções f(x) = -x e g(y) = y+1 não satisfazem a expressão f(x + g(y)) = -x+y+1 fornecida pelo enunciado.

Em questões com equações funcionais, costuma ser vantajoso substituir valores que simplificam as expressões. Por isso, vou começar igual a você.

Fazendo x = 0:



Fazendo x = - g(y): (isso é interessante porque faz aparecer f(0))



Podemos isolar y+1 em eq 2 e deixar eq 1 em função só de g(y). Isso é ótimo, porque g(y) funciona como uma variável independente qualquer (digamos, z).



Finalmente, temos as expressões de f e g em função de uma única variável e de uma constante desconhecida f(0). A situação melhorou muito.

Vejamos quanto vale g(x + f(y)).

Usando a lei da equação 2:



Usando a lei da equação 3:

Obrigado
Muito esclarecedor!

Solução alternativa usando cálculo diferencial:

Derivando a equação f(x + g(y)) = −x + y + 1 em relação a x:
f'(x + g(y)) = -1 (*)

Derivando a equação f(x + g(y)) = −x + y + 1 em relação a y:
f'(x + g(y))g'(y) = 1 (**)

De (*) em (**):
(-1)g'(y) = 1 --> g'(y) = -1 --> g(y) = ∫(-1)dy = -y + C
Logo, g(x) = -x + C

Substituindo o ultimo resultado na equação f(x + g(y)) = −x + y + 1:
f(x - y + C) = -x + y + 1 = -(x - y) + 1

Fazendo t = x - y + C (e, portanto, x - y = t - C):
f(t) = -t + 1 + C
Logo, f(x) = -x + 1 + C.

Assim:
g(x + f(y)) = -(x - y + 1 + C) + C = -x + y - 1

Obrigado! 

Só tem fera nesse fórum!!!!!!