Área da coroa circular

por graceraira Sex 31 maio 2019, 12:49

(UPE) A logomarca de uma empresa é formada por dois círculos tangentes e por três segmentos de reta paralelos, sendo que o segmento AB contém os centros dos círculos, e os segmentos MN e PQ são tangentes ao círculo menor, medindo 6 cm cada um, como mostra a figura a seguir. Quanto mede a área da superfície cinza da logomarca?
a) 9pi/2
b)3pi/2
c) 9pi
d) 3pi
e) 2pi

Área da coroa circular 962c7fd602b8bf43b8d5e2b5343983fd

Área da coroa circular 962c7fd602b8bf43b8d5e2b5343983fd

resposta letra c

por **Elcioschin** Sex 31 maio 2019, 21:11

Seja O o centro do círculo maior e origem de um sistema xOy
Sejam R, r os raios maior e menor

x^2 + y^2 = R^2

xP = xQ = r ---> r^2 + y^2 = R^2 ---> y^2 = R^2 - r^2

yQ = + \/(R^2 - r^2)
yP = - \/(R^2 - r^2)

PQ = yQ - yP ---> 6 = 2.\/(R^2 - r^2) ---> R^2 - r^2 = 9

S = pi.R^2 - pi.r^2 ---> S = pi.(R^2 - r^2) ---> S = 9.pi

por **Medeiros** Sáb 01 Jun 2019, 02:44

apenas por geometria plana.

Sejam R e r os raios dos círculos maior e menor respectivamente e O o centro do círculo maior. A área procurada é
S = \pi.R^2 - \pi.r^2 \to S = \pi.(R^2 - r^2) \;\;\text{............(1)}

trace o diâmetro YZ do círculo maior perpendicular em X à corda PQ.
propriedade: o raio perpendicular a uma corda divide esta ao meio.

propriedade das cordas que se cruzam:
XY.XZ = XP.XQ
(R + r).(R - r) = 3*3 -----> R² - r² = 9 ................(2)

(2) em (1) -----> S = 9 \pi

por **Elcioschin** Dom 02 Jun 2019, 12:36

Outro método rápido: S = pi.R^2 - pi.r^2 ---> S = pi. (R^2 - r^2)

Tanto faz onde está o círculo menor (dentro do maior).
Vamos, então deslocar o menor, de modo que seu centro coincida com o centro O do maior:

OX = r ---> OP = R ---> PX = QX = 3

OP^2 - OX^2 = PX^2 ---> R^2 - r^2 = 3^2 ---> R^2 - r^2 = 9

S = pi.(R^2 - r^2) ---> S = 9.pi

por meunomeeluisa Qua 02 Jun 2021, 19:30

Elcioschin escreveu:Seja O o centro do círculo maior e origem de um sistema xOy
Sejam R, r os raios maior e menor

x^2 + y^2 = R^2

xP = xQ = r ---> r^2 + y^2 = R^2 ---> y^2 = R^2 - r^2

yQ = + \/(R^2 - r^2)
yP = - \/(R^2 - r^2)

PQ = yQ - yP ---> 6 = 2.\/(R^2 - r^2) ---> R^2 - r^2 = 9

S = pi.R^2 - pi.r^2 ---> S = pi.(R^2 - r^2) ---> S = 9.pi

Olá! Você poderia carregar uma imagem com essas informações sobre a figura? Estou tendo dificuldade para identificar y, x etc na figura da questão.