Razão entre segmentos no triângulo, IME/ITA nível 1

Num triângulo ABC, os lados medem AB = L, AC = AB = (L√3)/2. Sendo H o pé da altura de A, M médio de AH e X a interseção das retas CM e AB, calcule a razão AX : XB.

Sei que os lados AC e AB são equivalentes a altura de um triângulo equilátero, mas não consegui desenvolver nada de interessante a partir disso. Aparentemente deve-se utilizar os teoremas de Menelaus e Ceva, pois esta é a proposta do módulo, mas não vejo como. Meu desenho:

Gabarito:

Oi, Looks, tive uma idéia, mas tem algo dando errado  

Vou deixar aqui como eu estava pensando só para ver se te ajuda em algo  

trace uma altura partindo de C indo até o lado AB. Irá dividir AB ao meio, pois é um triângulo isósceles


por Pitágoras você encontrará que essa altura é L√2/2 

feito isso, faça L.L√2/2 =  L√3/2.AH

Pois basexaltura/2 é a área do triângulo e ela precisa ser igual

Você encontrará que AH= L√6/3
Sendo assim, sabemos que AM= L√6/6 e MH=L√6/6

Agora, aplique pitágoras em AHB

L² = (L√6/3)² + BH²
BH=√3L/3

CB=L√3/2

CB - BH = CH
L√3/2 - L√3/3 = CH
CH= L√3/6

Pitágoras em CMH

CM² = (L√3/6)² + (L√6/6)²
CM²= L²9/36
CM=L/2


Porém, ao aplicar Menelaus eu não encontro essa proporção

Provavelmente alguma passagem minha está está errada 
Só deixei aqui porque porque pode te ajudar de alguma forma, sei lá hahah

Olá Monica, suas contas estão perfeitas! refiz todas, apliquei Menelaus e achei o gabarito:

Usando Menelaus no triângulo ABH sendo cortado pela reta XC: AX / XB * BC / CH * HM / MA = 1

-> AX / XB * ((L√3)/2 / (L√3)/6) * 1 = 1
-> AX / XB * 3 = 1
-> AX / XB = 1/3

Muito obrigado.

nossa, eu acho que por conta do horário eu estava aplicando a fórmula errado hahaha

nossa, estou muito feliz que deu certo então!