Complexos e geometria
2 participantes
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
Complexos e geometria
por lcvf9696 Qui 11 Abr 2019, 01:08
Sabendo que z1 e z2 são as raízes da equação 
,onde os coeficientes de p e q podem ser números complexos.Sejam A e B que representam z1 e z2 no plano complexo.Se 
e OB=OA,onde O é a origem.Então o valor da expressão 
é igual a :
A)1
B)2
C)3
D)4
E)5
Gab:D
A)1
B)2
C)3
D)4
E)5
Gab:D
lcvf9696- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 142
Data de inscrição : 30/05/2017
Idade : 27
Localização : Cariacica-ES,Brasil.
Re: Complexos e geometria
por Giovana Martins Qui 11 Abr 2019, 19:21
Tente entender o que eu fiz. Assim que eu puder eu detalho mais as ideias.
\\z^2+pz+q=0\to (x+yi)^2+p(x+yi)+q=0\\\\x^2-y^2+2xyi+px+pyi+q=0\to (x^2-y^2+px+q)+i(2xy+py)=0\\\\x^2-y^2+px+q=0\ (1)\ \wedge\ y(2x+p)=0\ (2)\ \therefore \ \mathrm{De\ }(2):\ y=0\ \vee\ x=-\frac{p}{2}\\\\y=0\ \mathrm{em}\ (1):\ x^2+px+q=0\to x=\frac{1}{2}\left ( -p\pm \sqrt{p^2-4q} \right )\ \therefore \ \cancel {\left ( -\frac{p}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{p^2-4q},0 \right )}\\\\x=-\frac{p}{2}\ \mathrm{em}\ (1)\to y=\pm \sqrt{-\frac{p^2}{4}+q}\ \therefore \ \left \{ z_1,z_2 \right \}=\left ( -\frac{p}{2}, \pm \sqrt{-\frac{p^2}{4}+q}\right )\\\\|z_1|=\sqrt{\left ( -\frac{p}{2} \right )^2+\left (\sqrt{-\frac{p^2}{4}+q} \right )^2}\to |z_1|=\sqrt{q}\ \therefore \ cos\left ( \frac{\alpha }{2} \right )=\frac{p}{2\sqrt{q}}\\\\\therefore \ cos^2\left ( \frac{\alpha }{2} \right )=\frac{p^2}{4q}\to \boxed {\frac{p^2}{qcos^2\left ( \frac{\alpha }{2} \right )}=4}
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 7606
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Re: Complexos e geometria
por Giovana Martins Qui 11 Abr 2019, 23:02
Algumas explicações:
- A partir da quarta linha da resolução note que eu encontrei um ponto o qual foi desconsiderado. Aquele ponto faria com que o ângulo α fosse um ângulo raso e assim a expressão pedida se tornaria nos levaria a uma divisão por zero, por isso eu o desconsiderei.
- Por sua vez, o segundo ponto nos fornece um triângulo isósceles (ligue o segundo ponto com a origem) cuja base é a distância entre os afixos de z1 e z2. Pelo formato desse ponto, é fácil ver que em relação ao eixo real do plano de Argand-Gauss os afixos de z1 e z2 são simétricos, assim, o "eixo real é uma bissetriz" do ângulo α, daí é só montar um triângulo retângulo cujo cateto vai ser o módulo de z1 (ou de z2, tanto faz devido a simetria) e o cateto adjacente ao ângulo α equivale a p/2.
Se precisar de algum desenho ou uma melhor explicação é só falar
.
- A partir da quarta linha da resolução note que eu encontrei um ponto o qual foi desconsiderado. Aquele ponto faria com que o ângulo α fosse um ângulo raso e assim a expressão pedida se tornaria nos levaria a uma divisão por zero, por isso eu o desconsiderei.
- Por sua vez, o segundo ponto nos fornece um triângulo isósceles (ligue o segundo ponto com a origem) cuja base é a distância entre os afixos de z1 e z2. Pelo formato desse ponto, é fácil ver que em relação ao eixo real do plano de Argand-Gauss os afixos de z1 e z2 são simétricos, assim, o "eixo real é uma bissetriz" do ângulo α, daí é só montar um triângulo retângulo cujo cateto vai ser o módulo de z1 (ou de z2, tanto faz devido a simetria) e o cateto adjacente ao ângulo α equivale a p/2.
Se precisar de algum desenho ou uma melhor explicação é só falar
.Última edição por Giovana Martins em Sáb 13 Abr 2019, 08:14, editado 1 vez(es)
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 7606
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Re: Complexos e geometria
por lcvf9696 Sex 12 Abr 2019, 00:04
Estudei só por cima porque já vou dormir,mas deu pra entender legal.Se eu tiver alguma dúvida quando passar para o papel,solicito por aqui.Muito Obrigado!
lcvf9696- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 142
Data de inscrição : 30/05/2017
Idade : 27
Localização : Cariacica-ES,Brasil.
Tópicos semelhantes» complexos e geometria
» Complexos e geometria
» Complexos e geometria
» Complexos e geometria
» Complexos e geometria
» Complexos e geometria
» Complexos e geometria
» Complexos e geometria
» Complexos e geometria
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos|
|
|
