Complexos e geometria

Seja S a área do maior triângulo equilátero que pode ser inscrito em um retângulo com lados 10 cm e 11 cm. Então, o valor da expressão é igual a :

A) 121 B) 221 C) 363 D) 440 E) 330

Gabarito:B

Resolução por outra forma além de Complexos também me ajudaria.

1) Suponha que o triângulo tem base igual a 10 (mesma base menor do retângulo)

S1 = L².√3/4 ---> S = 10².√3/4 ---> S = 25.√3 ~= 43,3 cm²


2) Suponha que o triângulo tem base L sobre a base maior do retângulo e altura 10

h = L.√3/2 ---> 10 = L.√3/2 ---> L = 20.√3/3

S2 = (20.√3/3)².√3/4 ---> S2 = 100.√3/3 ---> S2 ~= 57,7 cm²

S2 > S1

Calculando o valor de S com base no gabarito:

(S + 330)./√3 = 221 ---> S + 330 = 221.√3 ---> S ~= 52,78


Acontece que S < S2, logo S não é a área do maior triângulo equilátero; logo, o gabarito está errado.

Fiz de forma muito aproximada e contemplo a alternativa (b). Porém acho que existe um triângulo ainda maior do que este usado por mim -- pois este, a bem da verdade, NÃO está inscrito --, o que resultaria numa resposta de números redondos.

Supondo que o triângulo tem a altura do menor lado, i.e., h = 10 ----> h = L√3/2 = 10 -----> L = 20√3/3 ~= 6,7 . 1,7 = 11,39 > 11
portanto este triângulo não cabe no retângulo.

Experimentando com o lado do triângulo igual ao maior lado, i.e., L = 11 -----> h = L√3/2 = 11√3/2 ~= 5,5 . 1,74 = 9,57 < 10

Portanto, embora não concorde ainda, vamos assumir que o maior triângulo que cabe naquele retângulo tem lado L = 11. Então
S = 11².√3/4 ~= 52,4

consequentemente, (S + 330)/√3 ~= (52,4 + 330)/√3 ~= 382,4 . 1,73/3 = 220,5

Na minha opinião, este é o maior triângulo possível. Agora é fazer conta.

Essa questão tá bem difícil de entender...

Até entendi o que o Elcioschin fez e a figura do Medeiros,mas não conseguir entender como o Medeiros chegou em l= | x+10il=l11+yil=l(11-x)+i(10-y)l

lcvf

apenas escrevi os três lados sob a forma de complexos.

Por outro lado, agora sou eu quem não entende por quê você intitulou o tópico como "Complexos e geometria".

Porque essa questão tá na lista do Farias Brito de aplicações de Complexos em Geometria.Mas essa questão deve possuir várias formas de resolução e algumas questões das listas do cursinho possuem erro no gabarito.Vou deixar pra voltar nessa questão mais pra frente.Obrigado pelas explicações!