Losango, IME/ITA nível 2

por lookez 28/3/2019, 10:21 am

No losango abaixo, AP = PD = DQ

Calcule o valor do ângulo x

GAB:

por **Elcioschin** 28/3/2019, 11:20 am

Começando:

Seja E o ponto de encontro de DQ com AC. Trace PQ
Seja θ = BÂC = DÂC = B^CA = D^CA ---> A^BC = A^DB = 180º - 2.θ

∆ PAD é isósceles (AP = PD), logo P^DA = PÂD ---> P^DA = θ ---> A^PD = 180º - 2.θ

D^PE = 180º - A^PD ---> D^PE = 180º - (180º - 2.θ) ---> D^PE = 2.θ

A^DC = P^DA + P^DQ + C^DE ---> 180º - 2.θ = θ + 90º + C^DE ---> C^DE = 90º - 3.θ

DÊP = x (opv) ---> D^PE = 90º - x

∆ DPQ é isósceles, pois PD = DQ, logo D^PQ = D^QP = 45º

Tente continuar

por lookez 28/3/2019, 1:07 pm

Mestre, não entendi como D^PQ pode ser 2θ, se D^PE é ângulo externo do triângulo APD na semirreta AP, então D^PE deve ser 2θ, logo D^PQ é maior que isso, não?

Meu desenho, não consigo prosseguir: (usei alfa no lugar de θ)

Parece que o ângulo E^PQ é θ, pois PQ parece paralelo a AB (dá certo desse modo), entretanto não sei como chegar nessas conclusões a partir do meu desenho.

por **Elcioschin** 28/3/2019, 3:04 pm

Erro meu de digitação. O correto é

D^PE = 180º - 2.A^PD = 180º - (180º - 2.θ)

Obrigado pelo alerta: já editei minha mensagem original (em vermelho)

Você esqueceu de marcar a reta PQ e alguns ângulos e poderia marcar outros:

D^PQ = D^QP = 45º

CÊD = 90º + 2.θ

C^QE = 90º + θ

P^QB = 45º - θ

Q^PE = D^PQ - D^PE ---> Q^PE = 45º - 2.θ

A^PQ = 135º + θ

por **raimundo pereira** 28/3/2019, 5:11 pm

por **Medeiros** 29/3/2019, 3:14 am

Raimundo

está tudo muito certo e bom mas tenho dificuldade neste trecho:
"veja que P^EB e D^PQ são ângulos correspondentes..."

Não consegui ver isso porque antes pecisaria ver que PQ é paralelo a AB. Pode demonstrar?

por lookez 29/3/2019, 9:29 am

Pensei a mesma coisa, ótima ideia ligar P a B, mas não consigo demonstrar que PQ é paralelo a AB para achar o ângulo C^PQ, apesar de ter achado que C^PB é 2m.

por **raimundo pereira** 29/3/2019, 2:07 pm

Ôpa! ,
Eu pensei assim:
Por P trace uma paralela a AB ate Q
Se parto da hipótese que esse segmento é // a AB , então O âng.(m) formado, é igual a PÂB=m,
Somando esse âng com D^PO vc obtém o âng. 3m,
Como partir da hipótese que que PQ é // a AB , tenho que obter essa confirmação .Essa confirmação é dada pela formação dos ângs correspondentes D^PQ=PÊB
Essa condição fecha com o triâng. ret. DPQ
Rolling Eyes