Geometria Plana - UFMG (94)

Relembrando a primeira mensagem :

Considere um círculo de diâmetro AB e as retas AP e BQ tangentes ao mesmo. Uma terceira tangente ao círculo, em um ponto C qualquer do mesmo, intercepta AP em D e BQ em E. Se AB=2x, CD=a e CE=b, DEMONSTRE que x²=ab




Como posso proceder ? Montei o desenho corretamente ?

Suan,

1)
antes agradeço aos colegas Felipe e Élcio, acima, que esclareceram sua dúvida.

2)
unicamente para reforço, acrescento o que segue.

seu raciocínio foi correto: se as retas AP e BQ não forem paralelas então não podemos considerar o segmento EF igual ao diâmetro.

mas vc errou na interpretação geométrica do enunciado ao dizer " E não existe nada do enunciado que fale que elas são paralelas". Acontece que o enunciado disse isso sim, aqui:  
"Considere um círculo de diâmetro AB e as retas AP e BQ tangentes ao mesmo."
Ora, existe um círculo cujo diâmetro é AB, ou seja, o diâmetro passa pelo centro e contém dois raios.
Ainda, a reta AP é tangente ao círculo, ou seja, contém o extremo A do diâmetro e é tangente.
propriedade: toda tangente a um círculo é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
Desta forma AP é perpendicular ao diâmetro AB.
Analogamente para a reta BQ, que também será perpendicular ao segmento AB.

Agora, lembrando um postulado de Euclides: "em duas retas paralelas cortadas por uma transversal, os ângulos colaterais internos somam 180°".
Ora, como em A e em B a soma dos ângulos é (90° + 90° = 180°), então aquelas retas AP e BQ são paralelas.

O caso geral que o enunciado pede refere-se ao texto: "Uma terceira tangente ao círculo, em um ponto C qualquer do mesmo...". É esta terceira tangente que não pode ocupar uma posição especial, privilegiada.

Abç

Medeiros escreveu:Resolvendo


Pitágoras no triângulo DEF:

\\\\(a + b)^2 = (2x)^2 + (a-b)^2 \\
4x^2 = (a+b)^2 - (a-b)^2 \to 4x^2 = \cancel{a^2} + \cancel{b^2} + 2ab - \cancel{a^2} - \cancel{b^2} + 2ab \\
4x^2  = 4ab \to x^2 = ab

Boa noite.
Como se sabe que AD=a e que FD=a-b?
Empaquei na hora de tirar a hipotenuza.

Propriedade:

Seja D um ponto externo a um círculo.
Traçando por D as duas tangentes DA e DC ---> DA = DC
Do mesmo modo, para o ponto externo E ---> EB = EC

Realmente, faz sentido. Vlw!