Geometria Plana - UFMG (94)

por Infantes Dom 17 Mar 2019, 13:19

Considere um círculo de diâmetro AB e as retas AP e BQ tangentes ao mesmo. Uma terceira tangente ao círculo, em um ponto C qualquer do mesmo, intercepta AP em D e BQ em E. Se AB=2x, CD=a e CE=b, DEMONSTRE que x²=ab

Como posso proceder ? Montei o desenho corretamente ?

por **Medeiros** Dom 17 Mar 2019, 14:33

NÃO. AP e BQ são tangentes ao círculo e vc desenhou secantes. O desenho correto é este

por **Medeiros** Dom 17 Mar 2019, 15:42

Resolvendo

Pitágoras no triângulo DEF:

\\\\(a + b)^2 = (2x)^2 + (a-b)^2 \\
4x^2 = (a+b)^2 - (a-b)^2 \to 4x^2 = \cancel{a^2} + \cancel{b^2} + 2ab - \cancel{a^2} - \cancel{b^2} + 2ab \\
4x^2 = 4ab \to x^2 = ab

por FelipeFBA Qui 09 Abr 2020, 18:47

Fiz assim, está correto?

por **Rory Gilmore** Qui 09 Abr 2020, 19:21

Não está correto, pois você fez uma demonstração de um caso particular, quando ABED é um retângulo. A demonstração deve ser para qualquer caso.

por FelipeFBA Qui 09 Abr 2020, 20:12

Entendi, obrigado!

por Suan Sex 17 Abr 2020, 15:30

Medeiros escreveu:Resolvendo

Pitágoras no triângulo DEF:

\\\\(a + b)^2 = (2x)^2 + (a-b)^2 \\
4x^2 = (a+b)^2 - (a-b)^2 \to 4x^2 = \cancel{a^2} + \cancel{b^2} + 2ab - \cancel{a^2} - \cancel{b^2} + 2ab \\
4x^2 = 4ab \to x^2 = ab

Obrigado pela resposta. Porém pra provar você usou como base a ideia de que as retas AP e BQ são paralelas, pois se não fossem EF não seria uma projeção do diâmetro. E não existe nada do enunciado que fale que elas são paralelas, ele quer que prove pra um caso geral, seja elas paralelas ou não. Então será que a sua resolução não está errada? Agradeceria se pudesse ajudar nisso, também estou com dúvida.

por FelipeFBA Sex 17 Abr 2020, 15:36

A resolução está corretíssima. Veja bem o que o enunciado fala "Considere um círculo de diâmetro AB e as retas AP e BQ tangentes ao mesmo"
Se é tangente, então um dos pontos da reta toca no círculo. Veja que o diametro é AB, e as retas são AP e BQ, então uma delas toca o círculo em A, que é uma extremidade do diâmetro, e a outra toca o círculo em B, que é outra extremidade do círculo. Desse modo, as duas retas só podem ser paralelas.

por FelipeFBA Sex 17 Abr 2020, 15:38

E se a reta tivesse uma declividade, tocaria a circunferência em mais de um ponto, e, dessa maneira, deixaria de ser uma tangente. Por isso, o único ponto que ela pode tocar é o ponto A, no caso da AP, e o ponto B, no caso da BQ

por **Elcioschin** Sex 17 Abr 2020, 18:45

Mais uma informação para o Suan

A reta AP é perpendicular ao diâmetro AB, no ponto A
A reta BQ é perpendicular ao diâmetro AB, no ponto B

Ora, se AP e BQ são perpendiculares ao mesmo diâmetro AB, as duas retas são paralelas entre si.