Geometria Analítica - Quadrado / Circunferência

Considere um quadrado ABCD. Determine o ponto P do plano que minimiza a soma PA²+PB²+PC²+PD².
Gabarito: 
Alguém pode fazer a resolução toda? Eu acho que cheguei à resolução mas sendo uma questão discursiva tenho certeza que não levaria o ponto todo. O que fiz:

Dando os vértices do quadrado como (0,0), (0,L), (L,L), (L,0)
Achar PA² PB² PC² e PD² é simples. A soma parece dar a equação geral de uma circunferência centrada em (L/2, L/2),  cujos pontos (x,y) são as coordenadas do ponto P, então a menor soma seria quando os pontos correspondem ao centro, ou seja, é o ponto no centro do quadrado. Mas parece ter algumas coisas errada em relação ao raio, ou talvez eu esteja me confundindo. Minha equação final ficou assim, sendo S a soma e x,y as coordenadas do ponto P(x,y):
S/4 = x²+y²-Lx-Ly+L²
Para a = L/2 e b=L/2 confere que -2ax = -Lx e -2bx = -Ly
Para isso, temos a² + b² = L²/4 + L²/4 = L²/2
Logo, precisamos que L²/2 - r² = L²
A solução para isso é r² = -L²/2, o que é um absurdo. Não sei o que este resultado significa, ou se achei a equação errada, apesar de já ter revisado as contas... Help!

Distância do centro P a cada um os vértices: d = L.√2/2 ---> d² = L²/2
No centro ---> x = y = L/2----> P(L/2, L/2)

S = d² + d² + d² + d² ---> S = 4.d² ---> S = 2.L²