Questão de Álgebra - OMDF Nível 3

por mpdscamp Qui 16 Ago 2018, 15:52

Calcule todas as possíveis soluções do sistema abaixo, com a, b e c \in \mathbb{R}:

a(a+2b)=-3
b(b+2c)=8
c(c+2a)=-5

Se puderem resolver ou fornecer alguma dica, algo assim, agradeço. Não possuo a resposta da questão.

por renan2014 Dom 19 Ago 2018, 13:36

Fazendo a distributiva e somando todas as equações, temos que:

a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^{2}=0

Como são reais, (a+b+c)² é sempre maior ou igual a zero. A igualdade acontece se somente se a+b+c=0 .

Tente resolver a partir daqui.

por mpdscamp Qui 23 Ago 2018, 15:11

Esse problema que eu mandei foi o item C da questão. O item A pedia justamente para provar isso que você fez. Também fiz a mesma coisa na hora do teste, e tentei por diversas formas encontrar o resultado, mas sempre chego/chegava em 0 = 0.
Da mesma forma, continuo tentando resolvê-lo e não encontro solução.

por math88 Qui 23 Ago 2018, 15:47

a(a+2b) = -3 \ , \ a^2+2ab+3 = 0\ ,\ Usando \ Baskara , \ a = -b\pm\sqrt(b^2-3)\\ \\
b(b+2c) = 8,\ Note \ que \ b \not= 0, \ b^2+2bc = 8, \ c = \frac{8-b^2}{2b} \\ \\
Como \ a+b+c = 0, \ -b\pm\sqrt(b^2-3) + b + \frac{8-b^2}{2b} = 0 \\
\pm\sqrt(b^2-3) = - \frac{8-b^2}{2b} \\
(b^2-3) = \frac{(8-b^2)^2}{4b^2} \\
4b^2(b^2-3) = (8-b^2)^2 \\
3b^4+4b^2-64 = 0 \\
b^2 = 4 \ ou \ \frac{-32}{6}, \ logo \ b^2 = 4, \ b = \pm2 \\ \\

caso \ b = 2, \ a = -1 \ ou \ -3 \ e \ c = 1\\
caso \ b = -2, \ a = 3 \ ou \ 1 \ e \ c = -1\\ \\

Mas a+b+c = 0, logo as soluções são b = 2, c = 1 e a =-3 ; b = -2, c = -1 e a = 3.