Questão de conjunto: Nível médio- Álgebra

por Naval2018 Sáb 25 Fev 2017, 17:41

Boa tarde galera, gostaria de uma ajuda nessa questão:

Uma turma com 100 alunos fez um teste com duas questões.

-30 alunos acertaram apenas uma questão

-Entre os que acertaram a 1°, 2/3 (dois terços) também acertaram a 2° questão

-Entre os que erraram a 1° questão, 3/4 (três quartos) também erraram a 2° questão

Pergunta-se

A) Quantos alunos acertaram a 1 ° questão?
B) Quantos alunos erraram as duas?

Não sei se o meu gabarito está certo, mas ta constando a)60 b)30

por Thomas Prado Sáb 25 Fev 2017, 23:49

Seja:
A1 = quantidade de alunos que acertaram apenas a 1ª questão;
A2 = quantidade de alunos que acertaram apenas a 2ª questão;
A3 = quantidade de alunos que acertam as duas questões;
A4 = quantidade de alunos que erraram as duas questões.

Uma turma com 100 alunos... → A1 + A2 + A3 + A4 = 100
30 alunos acertaram apenas uma questão → A1 + A2 = 30
Entre os que acertaram a 1ª, 2/3 (dois terços) também acertaram a 2ª questão → (2/3).(A1 + A3) = A3 ⇒ A3 = 2.A1
Entre os que erraram a 1ª questão, 3/4 (três quartos) também erraram a 2ª questão → (3/4).(A2 + A4) = A4 ⇒ A4 = 3.A2

Fazendo as devidas substituições na primeira expressão e montando um sistema com a primeira e a segunda expressão, temos:
2A1 + 3A2 = 70
A1 + A2 = 30

Resolvendo, obtemos que:
A2 = 10 ∴ A1 = 20 ∴ A3 = 40 ∴ A4 = 30

a) A1 + A3 = 20 + 40 = 60 alunos
b) A4 = 30 alunos