Princípio fundamental da contagem

Para cada questão, há duas possibilidades, participar ou não de uma determinada prova. 
Logo, 2 * 2 * 2 * .. 2 = 2^n 

Veja que nós devemos descontar um dos casos, que é quando nenhuma das questões é selecionada, pois, nessa situação, não temos nenhuma prova formada. 

Daí, 2^n - 1 = 255, n = 8.

Essa questão já fora respondida por um dos internautas do Fórum segue o link abaixo
 COMBINAÇÃO

Mateus Meireles escreveu:Para cada questão, há duas possibilidades, participar ou não de uma determinada prova. 
Logo, 2 * 2 * 2 * .. 2 = 2^n 

Veja que nós devemos descontar um dos casos, que é quando nenhuma das questões é selecionada, pois, nessa situação, não temos nenhuma prova formada. 

Daí, 2^n - 1 = 255, n = 8.

Não consegui entender pois, com 8 questões, pode-se ter, por exemplo, uma prova com 3 questões, o enunciado não restringiu isso

guipenteado escreveu:
Não consegui entender pois, com 8 questões, pode-se ter, por exemplo, uma prova com 3 questões, o enunciado não restringiu isso

E foi justamente isso que eu contei. Cada questão pode ou não participar da prova, por isso 2 opções.

Vamos elaborar uma prova aqui. 

A primeira questão irá fazer parte? -> 2 opções, suponha que sim.
A segunda questão irá fazer parte? -> 2  opções, suponha que não.
A terceira questão irá fazer parte? -> 2  opções, suponha que não.
A quarta questão irá fazer parte? -> 2  opções, suponha que não.
A quinta questão irá fazer parte? -> 2  opções, suponha que não.
A sexta questão irá fazer parte? -> 2  opções, suponha que não.
A sétima questão irá fazer parte? -> 2  opções, suponha que não.
A oitava questão irá fazer parte? -> 2  opções, suponha que não.

Assim, nessa prova hipotética, ela será constituída apenas pela primeira questão.

Caso quiséssemos que três questões fizessem parte, bastaria "dizer sim" para três e " dizer não" para as outras. Entende?

Duas pequenas observações:

- Segundo as regras do fórum, é interessante que voce não crie tópicos para levantar dúvidas em questões já postadas. Lembre-se de verificar na próxima vez.

- No link fornecido pelo colega, há uma pequena observação:
"Admita que as provas sejam diferentes apenas pela natureza das questões, isto é, a ordem
das questões não diferencia provas."


Isso muda totalmente a contagem do problema.

Mateus Meireles escreveu:

guipenteado escreveu:
Não consegui entender pois, com 8 questões, pode-se ter, por exemplo, uma prova com 3 questões, o enunciado não restringiu isso

E foi justamente isso que eu contei. Cada questão pode ou não participar da prova, por isso 2 opções.

Vamos elaborar uma prova aqui. 

A primeira questão irá fazer parte? -> 2 opções, suponha que sim.
A segunda questão irá fazer parte? -> 2  opções, suponha que não.
A terceira questão irá fazer parte? -> 2  opções, suponha que não.
A quarta questão irá fazer parte? -> 2  opções, suponha que não.
A quinta questão irá fazer parte? -> 2  opções, suponha que não.
A sexta questão irá fazer parte? -> 2  opções, suponha que não.
A sétima questão irá fazer parte? -> 2  opções, suponha que não.
A oitava questão irá fazer parte? -> 2  opções, suponha que não.

Assim, nessa prova hipotética, ela será constituída apenas pela primeira questão.

Caso quiséssemos que três questões fizessem parte, bastaria "dizer sim" para três e " dizer não" para as outras. Entende?

Certo Mateus, agora eu entendi o seu raciocínio, ficou bem claro. Mas você poderia me apontar o porquê do meu raciocínio estar equivocado ? Assim não errarei mais esse tipo de questão...
Eu tinha pensado da seguinte forma. Por exemplo, se ele tem 8 questões ele poderia fazer:

Provas com 1 questão: 8 possibilidades
+
Provas com 2 questões: 8.7 possibilidades
+
Provas com 3 questões: 8.7.6 possibilidades
....
(Até a Prova com 8 questões)

Mas isso está incorreto pois ultrapassa as 255 possibilidades. Pode me dizer por que ?

*Dá próxima vez eu irei verificar se o tópico já é existente.
Obrigado.

guipenteado escreveu:Certo Mateus, agora eu entendi o seu raciocínio, ficou bem claro. Mas você poderia me apontar o porquê do meu raciocínio estar equivocado ? Assim não errarei mais esse tipo de questão...
Eu tinha pensado da seguinte forma. Por exemplo, se ele tem 8 questões ele poderia fazer:

Provas com 1 questão: 8 possibilidades
+
Provas com 2 questões: 8.7 possibilidades
+
Provas com 3 questões: 8.7.6 possibilidades
....
(Até a Prova com 8 questões)

Mas isso está incorreto pois ultrapassa as 255 possibilidades. Pode me dizer por que ?

O seu raciocínio está parcialmente correto. O problema de resolver esse problema por PFC, como você tentou, é que quando estamos contando uma prova com 2 questões, por exemplo:

AB
e 
BA

estão sendo contadas. Porém, essa prova equivale a uma só, já que a ordem da questão não diferencia a prova. Nessa situação, o mais adequado seria realizar a escolha de uma questão.. duas questões.. ... 

Chegaríamos no seguinte:

C_8^0 + C_8^1 + C_8^2 + ... + C_8^7 + C_8^8

Lê-se C_n^p como sendo "combinação de n escolhe p" (não consegui colocar isso no latex daqui..)

ou seja, estamos somando quantas provas são constituídas por 0 questões, por uma questão, por duas questões..  e por oito questões, que representa o número total de provas possíveis de serem formadas.

Pelo teorema das linhas, sabemos que a soma C_8^0 + C_8^1 + C_8^2 + ... + C_8^7 + C_8^8 é igual a 2^8. Observe, porém, que na primeira contagem, C_8^0, não estamos colocando nenhuma questão na prova. Por esse motivo devemos fazer 2^8 - 1 = 255. (C_8^0 = 1) 

Eu preferi mostrar a resolução da outra forma por me parece mais intuitiva e de mais fácil visualização. Talvez minha redação não tenha ficado muito boa, mas qualquer coisa você me avisa aí.

Mateus Meireles escreveu:

guipenteado escreveu:Certo Mateus, agora eu entendi o seu raciocínio, ficou bem claro. Mas você poderia me apontar o porquê do meu raciocínio estar equivocado ? Assim não errarei mais esse tipo de questão...
Eu tinha pensado da seguinte forma. Por exemplo, se ele tem 8 questões ele poderia fazer:

Provas com 1 questão: 8 possibilidades
+
Provas com 2 questões: 8.7 possibilidades
+
Provas com 3 questões: 8.7.6 possibilidades
....
(Até a Prova com 8 questões)

Mas isso está incorreto pois ultrapassa as 255 possibilidades. Pode me dizer por que ?

O seu raciocínio está parcialmente correto. O problema de resolver esse problema por PFC, como você tentou, é que quando estamos contando uma prova com 2 questões, por exemplo:

AB
e 
BA

estão sendo contadas. Porém, essa prova equivale a uma só, já que a ordem da questão não diferencia a prova. Nessa situação, o mais adequado seria realizar a escolha de uma questão.. duas questões.. ... 

Chegaríamos no seguinte:

C_8^0 + C_8^1 + C_8^2 + ... + C_8^7 + C_8^8

Lê-se C_n^p como sendo "combinação de n escolhe p" (não consegui colocar isso no latex daqui..)

ou seja, estamos somando quantas provas são constituídas por 0 questões, por uma questão, por duas questões..  e por oito questões, que representa o número total de provas possíveis de serem formadas.

Pelo teorema das linhas, sabemos que a soma C_8^0 + C_8^1 + C_8^2 + ... + C_8^7 + C_8^8 é igual a 2^8. Observe, porém, que na primeira contagem, C_8^0, não estamos colocando nenhuma questão na prova. Por esse motivo devemos fazer 2^8 - 1 = 255. (C_8^0 = 1) 

Eu preferi mostrar a resolução da outra forma por me parece mais intuitiva e de mais fácil visualização. Talvez minha redação não tenha ficado muito boa, mas qualquer coisa você me avisa aí.

Perfeito, até porque nesse caso estamos utilizado o valor da resposta para efetuar os cálculos, realmente a sua resolução é a mais eficientes, apenas queria entender os mecanismos, muito obrigado pela explicação e paciência!

Por nada. 

Bons estudos.