Área máxima do retângulo

por Anderson M. 7/5/2018, 1:12 pm

Dado um triângulo ABC isósceles, de base medindo 6 e altura medindo 18, calcule as dimensões "a" e "b" do retângulo hachurado, de maneira que ele tenha área máxima.

Obs.: encontrei a área e o perímetro do triângulo, mas não consegui mais nada.

por **Elcioschin** 7/5/2018, 1:24 pm

Vou fazer a = x e b = y para ser melhor entendido

Sejam D e E os vértices do retângulo sobre AB e AC e seja M o ponto médio de AB e N o ponto médio de BC e da base inferior do retângulo.

Triângulos ADE e ABC são semelhantes:

AM/DE = AN/BC ---> (18 - y)/x = 18/6 ---> y = 18 - 3.x

S = x.y ---> S = x.(18 - 3.x) ---> S = - 3.x² + 18.x

xV = - 18/2.(-3) ---> xV = 3 ---> yV = 18 - 3.x ---> yV = 9

a = 3, b = 9

por **Ashitaka** 7/5/2018, 1:29 pm

Ret. + dois triângulos laterais + triângulo superior = área total
ab + (6-a)*b/2 + a*(18-b)/2 = 6*18/2
b = 18 - 3a
y = ab = 18a - 3a² ---> parábola voltada para baixo, admite máximo

dy/da = 18 - 6a = 0 ----> a = 3 ----> b = 18 - 6 = 12.