Área máxima do retângulo

Na figura, ABCD é um trapézio isósceles e EFGH é um retângulo. Sabendo que a altura do trapézio ABCD é igual a 1, AB = a e DC = b, determine a área S máxima que o retângulo EFGH pode assumir.

A) 3b²/4(b-a)
B) b²/(a-b)
C) 2b²/(b-a)
D) b²/(b-a)
E) b²/4(b-a)

Use a tangente no ângulo do vértice D ou C (dá no mesmo, pois o trapézio é isósceles) para relacionar a altura e a base do retângulo com os valores de "a" e "b":

Trace a altura do vértice "A" em relação ao lado DC, essa é a altura do trapézio e seu comprimento é 1, como foi dado no enunciado.
A base desse novo triângulo formado pela altura do vértice A é (b – a)/2, pois é a metade do segmento DC menos a metade do segmento AB.
Usando a tangente nesse triângulo: tg θ = 2 / (b – a)

Faça o mesmo com o triângulo EDH. Use a tangente do ângulo D novamente para relacionar a altura HE do retângulo com aquele pedacinho DH (DH = DC/2 – HG/2)

Isole alguma variável (lado ou base do retângulo) e depois substitua na fórmula de área:
S = b . h
Vai resultar numa função do 2° grau, feito isso, basta calcular o Y do vértice.

Sage Sanskrit escreveu:Use a tangente no ângulo do vértice D ou C (dá no mesmo, pois o trapézio é isósceles) para relacionar a altura e a base do retângulo com os valores de "a" e "b":

Trace a altura do vértice "A" em relação ao lado DC, essa é a altura do trapézio e seu comprimento é 1, como foi dado no enunciado.
A base desse novo triângulo formado pela altura do vértice A é (b – a)/2, pois é a metade do segmento DC menos a metade do segmento AB.
Usando a tangente nesse triângulo: tg θ = 2 / (b – a)

Faça o mesmo com o triângulo EDH. Use a tangente do ângulo D novamente para relacionar a altura HE do retângulo com aquele pedacinho DH (DH = DC/2 – HG/2)

Isole alguma variável (lado ou base do retângulo) e depois substitua na fórmula de área:
S = b . h
Vai resultar numa função do 2° grau, feito isso, basta calcular o Y do vértice.

Legal demais, amigo, abriu-me muito a cabeça essa questão. É nois!