Área máxima de um retângulo - Q9-2014

Olá colegas, mais um exercício que me deixa desconcertado. 
Se puderem me dar uma ajuda agradeço.....

"De um retangulo de lados medindo X e Y, com X < Y, são retirados dois semicírculos de raio X/2 formando a figura abaixo ilustrada, em cinza. Entre todas as figuras  assim construídas, com perímetro medindo 10m, determine aquela de área máxima e assinale, entre as alternativas abaixo, a que  melhor aproxima esta área máxima. 






A resposta é 2,65 m^2


Bom, pensei em algumas possibilidade de tentar resolver este exercício, porém não obtive muito prosseguimento aos meus métodos.... Vejam o que pensei:

Olhei a figura, observei que a área é obtida pelo produto de suas dimenssões, assim:

A = Compr . Larg
A = Y . (Pi.x)/2 

Outrora falasse em perimetro que é soma dos lados, assim:

P = Pi.x + 2y
10 = Pi.x + 2y


Agora me diz uma coisa, como fazer isso se transformar em uma equação do segundo grau, para ai sim, eu estudar as coordenadas do vértice?

Se puderem me dar uma ajuda agradeço e muito, 


Gobate

Boa tarde, reparei que a questão tem alternativas. Você pode me enviar?

Regra XI do fórum:

.... Quando uma questão possui alternativas estas FAZEM PARTE  da questão e devem ser postadas integralmente. ....

Me perdoem pela falha, as alternativas são: 

A) 12,5 m^2
B) 2,5 Pi m^2
C) 6,8 m^2
D) 10/3.pi m^2
E) 2,65 m^2


Estão ai....

Perímetro = 2.y + 2.pi.(x/2) ---> 10 = 2.y + pi.x ---> y = (10 - pi.x)/2 ---> y = 5 - pi.x/2 ---> I

Área do retângulo ---> Sr = x.y ---> Sr = x.(5 - pi.x/2) ---> Sr = 5.x - pi.x²/2 ---> II

Área dos dois semicírculos = área de um círculo --> Sc = pi.(x/2)² ---> Sc = pi.x²/4

Área cinza ---> S = Sr - Sc ---> S = (5.x - pi.x²/2) - pi.x²/4 ---> S = - (3.pi/4).x² + 5x

S é máxima no vértice da parábola ---> xV = - 5/2.[- (3pi)/4] ---> xV = 10/3.pi

Smáx = - (3.pi/4).(10/3pi)² + 5.(10/3pi)

Faça as contas

Não entendi de onde saiu o 2.pi.(x/2)????????w

Lorenzo_ademir escreveu:Não entendi de onde saiu o 2.pi.(x/2)????????w

você não reconhece aí o comprimento de uma circunferência?

Pior ! Valeu...