ITA-SP ADAPTADO

Considere uma função f de R em R não constante e tal que f(x+y) = f(x)*f(y), 
qualquer x, y pertencente aos reais. Das afirmações: 

I) f(x) > 0, qualquer x pertencente aos R. 
II) f(nx) = [f(x)]^n, qualquer x pertencente aos R, qualquer y pertencente aos N*.
III) f(-x) = f(x), qualquer x pertencente aos R

é (são) verdadeira(s): 

a) apenas I e II.
b) apenas II e III.
c) apenas I e III. 
d) todas. 
e) nenhuma.

seja f:R->R

seja x=z/2 e y=z/2 , z pertence aos números reais , logo x e y pertencem aos números reais.
logo , f(z)=f^2(z/2)
como podemos escrever todos números reais como sua metade , temos que para todo z pertencente aos números reais , f(z) >0.

I-verdadeira.

seja x=z e y =z
f(2z)=f^2(z)
por PIF:
supondo que vale para um n=k
f(kz)=f^k(z)
provemos que vale para um n=k+1

como kz pertence aos números reais , sem perda de generalidade , multiplicamos os dois lados por f(z), logo:
f(kz).f(z)=f^(k+1)(z)
pela definição f(x).f(y)=f(x+y)
logo
f[(k+1)z]=f^(k+1)(z)

II-verdadeira

colocando x=z e y=-z ,teremos
f[z+(-z)]=f(z).f(-z)
f(0)=f(z).f(-z) equação 1.

para x=y=0

f(0)=f^2(0)----> f(0)=1 ou f(0)=0, como f não é constante e f(x).f(-x)=f(0) ,f(0) não pode ser 0 , pois f(x)=f(-x)=0 o que retrata uma função constante e igual a 0

logo f(X).f(-x)=1----> f(x)=1/f(-x) o que não representa uma função par (f(x)=f(-x))
III- falsa.