Montante

Olá.

Determinar o montante que obteremos no fim de 2 anos e meio se fizermos no início de cada semestre, num banco que paga a taxa de 20% ao ano com capitalização semestral, cinco depósitos nos valores de $30,00, $20,00, $15,00, $10,00 e $5,00?


30                       
|----------20
|----------|----------15
|----------|----------|----------10
|----------|----------|----------|----------5       
|----------|----------|----------|----------|   
0----------1----------2---------3---------4----------5----------semestres


R.: $ 115,16

Obs.: resolver usando teoria das séries variáveis em PA.

Um abraço.

jota-r escreveu:Olá.

Determinar o montante que obteremos no fim de 2 anos e meio se fizermos no início de cada semestre, num banco que paga a taxa de 20% ao ano com capitalização semestral, cinco depósitos nos valores de $30,00, $20,00, $15,00, $10,00 e $5,00?


30                       
|----------20
|----------|----------15
|----------|----------|----------10
|----------|----------|----------|----------5       
|----------|----------|----------|----------|   
0----------1----------2---------3---------4----------5----------semestres


R.: $ 115,16

Obs.: resolver usando teoria das séries variáveis em PA.

Um abraço.

Solução:

Examinando o exercício, verifica-se que o termo de 30,00 não está em PA na série. Os demais termos sim. Portanto a solução virá de dois procedimentos:

1º) Montante do termo único de $30,00 ao fim dos 5 semestres.
2º) Montante da série de termos antecipados de $20,00, $15,00, $10,00 e $5,00 ao fim de 4 semestres.

A soma dos dois montantes dará o resultado procurado.

Sendo a taxa 20% a.a. com capitalização semestral, implica em que i = 10% a.s.


1º caso:

Valor futuro de quantia única após n capitalizações sob juros compostos:

FV_1 = PV\cdot(1+i)^n

onde:

PV = $30,00
i = 0,10 a.s.
n = 5 s.

Substituindo valores:

FV_1 = 30\cdot(1+0,10)^5

FV_1 = 48,3153


2º caso:

Valor futuro de série antecipada em progressão aritmética decrescente sob juros compostos:

FV_2 = \left\{ p \cdot \left[ \frac{(1+i)^n -1}{i}\right] - \frac{g}{i} \cdot \left[ \frac{(1+i)^n - 1}{i} - n \right] \right \}(1+i)

onde:

p = $20,00 (primeiro termo)
i = 0,10 a.s.
n = 4 s.
g = $ 5,00 (gradiente)

Substituindo valores:

\small{FV_2 = \\ \left\{ 20 \cdot \left[ \frac{(1+0,10)^4 -1}{0,10}\right] - \frac{5}{0,10} \cdot \left[ \frac{(1+0,10)^4 - 1}{0,10} - 4 \right] \right\}(1+0,10)}

FV_2 = (92,82 - 32,05)\cdot(1,10)

FV_2 = 66,847


Resposta:

FV = FV_1 + FV_2

FV = 48,3153 + 66,847

\boxed{FV \approx \$\;115,16}

jota-r escreveu:Olá.

Determinar o montante que obteremos no fim de 2 anos e meio se fizermos no início de cada semestre, num banco que paga a taxa de 20% ao ano com capitalização semestral, cinco depósitos nos valores de $30,00, $20,00, $15,00, $10,00 e $5,00?


30                       
|----------20
|----------|----------15
|----------|----------|----------10
|----------|----------|----------|----------5       
|----------|----------|----------|----------|   
0----------1----------2---------3---------4----------5----------semestres


R.: $ 115,16

Obs.: resolver usando teoria das séries variáveis em PA.

Um abraço.

Ok, Luiz. 
A solução que você apresentou é válida. 

Outra maneira de determinar o montante pedido e que, aliás, já apresentei aqui no fórum, é considerar o esquema acima como resultante da soma de uma anuidade de 5 pagamentos antecipados e iguais a 30 com um pagamento igual a 5, feito na data zero, menos uma anuidade com 5 pagamentos antecipados, cujos termos são crescentes em progressão aritmética de razão igual ao primeiro pagamento (5).

Traduzindo a assertiva acima para a correspondente equação de valor, temos:

FV = 30*[(1,1^6-1)/0,1-1] + 5*1,1^5] - 5/0,1*[1,1*[(1,1^5-1]/0,1 - 5]*1,1
---->
FV = 30*6,7156 + 5*1,1^5 - 5/0,1*{[1,1*(1,1^5-1)]/0,1 - 5]*1,1
---->
FV = 201,4680 + 8,0526 - 50*{[1,1*6,1051 - 5]*1,1
----> 
FV = 201,4680 + 8,0526 - 50*1,7156*1,1
----> 
FV = 201,4680 + 8,0526 - 94,3580
---->
FV = 115,16


Um abraço.