Qual o próximo termo dessa sequência ?

por Ettoregabriel2287 25/2/2018, 1:33 pm

Peço para que movam o tópico caso esteja na área errada. A sequência é a seguinte:

-1, -1, 1, 11, ____?

por **Willian Honorio** 1/3/2018, 11:05 am

Trata-se de uma progressão aritmética de 3.ª ordem, portanto, sua lei de formação é dada por um polinômio do 3.º grau. A ordem de uma PA de ordem superior é dada quando todas as diferenças entre dois de seus termos adjacentes for constante, tal como ocorre com a PA na qual se está habituado, que é uma PA de 1.ª ordem [an=a1+(n-1).r]. Devemos, por conseguinte, achar um polinômio que satisfaça determinados pontos dados da melhor maneira que lhe convir.

$a_{n}=\left \{ -1,-1,1,11,... \right \}\\\Delta (a_{n})=\left \{ 0,2,10,... \right \}\\\Delta (\Delta (a_{n}))=\left \{ 2,8,14,... \right \}\,\,\(PA)\\\Delta (\Delta(\Delta (a_{n}) ))=\left \{ 6,6,6,... \right \}\\\\p(n)=\alpha .n^{3}+\beta .n^{2}+\gamma .n+\delta \\p(1)=-1\,\,;\,\,\,p(2)=-1\,\,;\,\,\,p(3)=1\,\,;\,\,\,p(4)=11\,\,;\,\,\,$

Pode-se resolver o sistema 4x4 formado ou interpolar um polinômio que satisfaça as 4 coordenadas. Neste caso, o ''Polinômio Interpolador de Lagrange'' é bastante útil:

$p(n)=\sum_{i=0}^{3}y_{i}.a_{i}(n)=y_{0}.a_{0}(n)+y_{1}.a_{1}(n)+y_{2}.a_{2}(n)+y_{3}.a_{3}(n)\\\\P_{0}(1,-1)\,\,\,\,;P_{1}(2,-1)\,\,\,\,;P_{3}(3,1)\,\,\,\,;P_{4}(4,11)\,\,\,\,\\\\p(n)=-a_{0}(n)-a_{1}(n)+a_{2}(n)+11.a_{4}(n)$

Os coeficientes de Lagrange:

$a_{0}(n)=\frac{(n-2)(n-3)(n-4)}{(1-2)(1-3)(1-4)}\Rightarrow a_{0}(5)=-\frac{(5-2)(5-3)(5-4)}{6}=-1\\\\a_{1}(n)=\frac{(n-1)(n-3)(n-4)}{(2-1)(2-3)(2-4)}\Rightarrow a_{1}(5)=\frac{(5-1)(5-3)(5-4)}{2}=4\\\\a_{2}(n)=\frac{(n-1)(n-2)(n-4)}{(3-1)(3-2)(3-4)}\Rightarrow a_{2}(5)=-\frac{(5-1)(5-2)(5-4)}{2}=-6\\\\a_{3}(n)=\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{(4-1)(4-2)(4-3)}\Rightarrow a_{3}(5)=\frac{(5-1)(5-2)(5-3)}{6}=44\\\\p(5)=-a_{0}(5)-a_{1}(5)+a_{2}(5)+11.a_{3}(5)\\\\p(5)=+1-4-6+44=35\\\\a_{n}=\left \{ -1,-1,1,11,{\color{Red} 35},... \right \}$

Desenvolvendo os coeficientes, achar-se-ia:

$a_{n}=n^{3}-5.n^{2}+8.n-5\\\\a_{5}=125-125+40-5=35$

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