O último termo dessa progressão aritmética

Em uma progressão aritmética de 5 termos e primeiro termo 5, a soma dos quadrados dos três primeiros termos é igual à soma dos quadrados dos dois últimos termos. O maior valor possível para o último termo dessa progressão aritmética é



(A) 5,5
(B) 6
(C) 6,5
(D) 7 (x) gabarito
(E) 7,5

Sejam os termos: 5, b, c, d, e

5² + b² + c² = d² + e²

A razão é sempre a mesma na PA:

b - 5 = c - b
2b = c + 5
c = 2b-5

Deixamos acima c em função de b.

c - b = d - c
2b - 5 - b = d - 2b + 5
3b - 10 = d

Deixamos acima d em função de b.

d - c = e - d
3b - 10 - 2b + 5 = e - 3b + 10
4b - 15 = e

Deixamos acima e em função de b.

Voltando à primeira equação:

5² + b² + c² = d² + e²
25 + b² + (2b - 5)² = (3b-10)² + (4b-15)²
25 + b² + 4b² + 25 - 20b = 9b² + 100 - 60b + 16b² + 225 - 120b
20b² - 160b + 275 = 0
4b² - 32b + 55 = 0

Delta = 32² - 16*55 = 144
b1 = (32 + 12)/8 = 5,5
b2 = (32 - 12)/8 = 2,5

Se b=5,5 a razão é 0,5 e o último termo 7.
A sequência é: 5; 5,5; 6; 6,5; 7.

Se b=2,5 a razão é -2,5 e o último termo é -5.
A sequência é: 5; 2,5; 0; -2,5; -5.

O maior valor possível é 7.