Função Máximo Inteiro

por Oziel Ter 20 Fev 2018, 18:37

Sejam as funções de R em R definidas por :

f(x)=|x| (função módulo)

g(x)=[x] (função maior inteiro)

a) Obtenha dos domínios das funções f+g, f-g, f*g, f/g e as sentenças abertas que definem cada uma delas.

b) Desenhe os gráficos das funções f+g, f-g, f*g, para x pertence [-2,2[.

gab:

|x|+[x] D pertence R, |x|-[x] D pertence R, |x|[x] D pertence R, |x|/[x] R-[0,1[

Função Máximo Inteiro File

por **Willian Honorio** Ter 20 Fev 2018, 20:54

A função máximo inteiro associa, para cada x, o maior inteiro que não supera x. Deste modo, os domínios são fáceis de estabelecer e as sentenças que as definem nada mais são que a álgebra das funções. A função modular pertence a nosso cotidiano, cujo domínio é real e a imagem são os reais não negativos. A função máximo inteiro, por sua vez, também possui domínio real, porém, a imagem dela são os números inteiros. Os gráficos são construídos decompondo as operações em funções mais simples, por exemplo, na primeira:

$(f+g)(x)=\left | x \right |+[x]\\\\g(x)=[x]\\\\x\,\in \,[-2,-1[\,\Rightarrow g(x)=-2\\\\\therefore (f+g)(x)=\left | x \right |-2\,\,\Leftrightarrow \,x\in [-2,1[$

Repare que há um comportamento linear de f+g nesse intervalo.

$x\in [-1,0[\Rightarrow g(x)=[x]=-1\\\\(f+g)(x)=\left | x \right |-1\,\,\,\Leftrightarrow \,x\in \,[-1,0[$

Novamente temos um comportamento linear nesse intervalo

$x\in [0,1[\Rightarrow g(x)=0\,\,\\(f+g)(x)=\left | x \right |\,\Leftrightarrow x\in \,[0,1[$

Idem

$x\in [1,2[\Rightarrow g(x)=1\\(f+g)(x)=\left | x \right |+1\Leftrightarrow \,x\in [1,2[$

Ora, f+g é restrita por diversos intervalos, portanto, ela pode ser escrita como uma função definida por 4 sentenças abertas:

$(f+g)(x)=\left\{\begin{matrix} \left | x \right |-2\,\,\,\,se\,\,x\in [-2,-1[ & & & \\ \left | x \right |-1\,\,\,\,se\,\,x\in [-1,0[ & & & \\ \left | x \right |\,\,\,\se\,\,x\in [0,1[& & & \\ \left | x \right |+1\,\,se\,\,x\in [1,2[& & & \end{matrix}\right.$

As funções são idênticas, é mais fácil para nós construirmos o gráfico:

$\left | x \right |+[x]=\left\{\begin{matrix} \left | x \right |-2\,\,\,\,se\,\,x\in [-2,-1[ & & & \\ \left | x \right |-1\,\,\,\,se\,\,x\in [-1,0[ & & & \\ \left | x \right |\,\,\,\se\,\,x\in [0,1[& & & \\ \left | x \right |+1\,\,se\,\,x\in [1,2[& & & \end{matrix}\right\,\,\, Dom(f+g)=[-2,2[$

Para as funções subsequentes, siga rigorosamente a resolução desta última e construa o gráfico. O resultado dela também serve para as posteriores, pelo menos no que tange aos valores da imagem da função máximo inteiro.