Determinar o montante da operação

por Luiz 2017 Sex 22 Dez 2017, 22:09

Cinco depósitos mensais antecipados de $ 2.000,00, com acréscimos de $ 1.000,00, a partir do segundo, formam uma progressão aritmética crescente. Se a taxa de juros que remunera a operação é de 10% ao mês, determine o montante final da operação.

R: 25.587,32

por evandronunes Dom 24 Dez 2017, 16:20

Pela tabela abaixo fica melhor o entendimento da resolução.

\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|} \hline M\hat{e}s & Valor \ Inicial & Dep\acute{o}sito & Valor \ de \ C\acute{a}lculo & Juros(10\%) & Saldo\\ \hline 1 & 0 & 2000 & 2000 & 200 & R\$ \ 2.200,00 \\ \hline 2 & 2200 & 3000 & 5200 & 520 & R\$ \ 5.720,00\\ \hline 3 & 5720 & 4000 & 9720 & 972 & R\$ \ 10.692,00\\ \hline 4 & 10692 & 5000 & 15692 & 1569,20 & R\$ \ 17.261,20\\ \hline 5 & 17261,20 & 6000 & 23261,20 & 2326,12 & {\color{Blue} \mathbf{R\$ \ 25.587,32}}\\ \hline \end{array}

por Luiz 2017 Dom 24 Dez 2017, 16:37

evandronunes escreveu:Pela tabela abaixo fica melhor o entendimento da resolução.

\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|} \hline M\hat{e}s & Valor \ Inicial & Dep\acute{o}sito & Valor \ de \ C\acute{a}lculo & Juros(10\%) & Saldo\\ \hline 1 & 0 & 2000 & 2000 & 200 & R\$ \ 2.200,00 \\ \hline 2 & 2200 & 3000 & 5200 & 520 & R\$ \ 5.720,00\\ \hline 3 & 5720 & 4000 & 9720 & 972 & R\$ \ 10.692,00\\ \hline 4 & 10692 & 5000 & 15692 & 1569,20 & R\$ \ 17.261,20\\ \hline 5 & 17261,20 & 6000 & 23261,20 & 2326,12 & {\color{Blue} \mathbf{R\$ \ 25.587,32}}\\ \hline \end{array}

Olá evandronunes

Sua solução está correta, mas sempre que vejo este método de solução "manual" penso em como aplicá-lo num problema maior. Por exemplo, como você resolveria este mesmo problema se ao invés de 5 fossem 200 depósitos?

Sds.

por evandronunes Seg 25 Dez 2017, 15:42

Vasculhando na internet, vi que existe um método para estes tipos de problemas.

Determinar o montante da operação Imagem10

Para encontrarmos o valor total (VT) na data "n" de uma série de n depósitos em progressão aritmética, à uma taxa i, como no esquema acima, utiliza-se a fórmula:

VT = a_1 \cdot \left [ \frac{(1+i)^n -1}{i} \right ] + \frac{r}{i} \cdot \left [ \frac{(1+i)^n -1}{i} -n \right ]

Como nesse problema, queremos o valor total de um período de tempo após n, basta multiplicar a fórmula acima por (1+i).

Portanto,

VT = a_1 \cdot \left [ \frac{(1+i)^n -1}{i} \right ] \cdot (1+i) + \frac{r}{i} \cdot \left [ \frac{(1+i)^n -1}{i} -n \right ] \cdot (1+i)

Nessa questão temos que a_1=2000 , r=1000 , i=0,1 e n=5, logo:

VT = 2000 \cdot \left [ \frac{(1,1)^5 -1}{0,1} \right ] \cdot (1,1) + \frac{1000}{0,1} \cdot \left [ \frac{(1,1)^5 -1}{0,1} -5 \right ] \cdot (1,1)

VT = 2000 \cdot 6,1051 \cdot 1,1 + 10000 \cdot 1,1051 \cdot 1,1

VT = 13431,22 + 12156,1

VT = R \$ \ 25.587,32

por Luiz 2017 Ter 26 Dez 2017, 13:07

evandronunes escreveu:
Para encontrarmos o valor total (VT) na data "n" de uma série de n depósitos em progressão aritmética, à uma taxa i, como no esquema acima, utiliza-se a fórmula:

VT = a_1 \cdot \left [ \frac{(1+i)^n -1}{i} \right ] + \frac{r}{i} \cdot \left [ \frac{(1+i)^n -1}{i} -n \right ]

Referia-me à sua primeira solução, com o método numérico. É uma antiga preocupação que tenho quando vejo soluções com este tipo de método. Como resolveria este mesmo problema, com este mesmo método, se ao invés de 5 fossem 200 depósitos? Penso ser algo cruel, enfadonho, não?

por evandronunes Ter 26 Dez 2017, 13:37

Realmente deve ser muito cansativo.... Acho que por isso que os autores criam essas questões com uma quantidade menor de valores.

Para valores altos de n, só utilizando calculadoras ou programas como o Excel.

por Luiz 2017 Ter 26 Dez 2017, 13:44

evandronunes escreveu:
Para valores altos de n, só utilizando calculadoras ou programas como o Excel.

Ou usar as fórmulas que você usou na segunda solução, que se aplicam a qualquer valor de "n" seja pequeno ou grande o trabalho é o mesmo.

por **jota-r** Ter 26 Dez 2017, 13:52

Luiz 2017 escreveu:
evandronunes escreveu:
Para valores altos de n, só utilizando calculadoras ou programas como o Excel.

Ou usar as fórmulas que você usou na segunda solução, que se aplicam a qualquer valor de "n" seja pequeno ou grande o trabalho é o mesmo.

Olá.

Assim também dá:

C = 3000
r = 1000
i = 0,05
F = ?

F = [(C + r/i)*[FAC (i,n)] - nr/i]---->Fórmula
---->
F = [3000 + 1000/0,05]*[(1,05^5-1)/0,05] - 5*1000/0,05]
---->
F = 23000*[0,27628156/0,05] - 100000
---->
F = 23000*5,52563120 - 100000
---->
F = 27.089,52

Obs.: FAC = fator de atualização de capital; FAC (i,n) = FAC (5%, 5) = (1,05^5-1)/0,05 = 5,52563125

Um abraço.

por **jota-r** Ter 26 Dez 2017, 13:59

jota-r escreveu:
Luiz 2017 escreveu:
evandronunes escreveu:
Para valores altos de n, só utilizando calculadoras ou programas como o Excel.

Ou usar as fórmulas que você usou na segunda solução, que se aplicam a qualquer valor de "n" seja pequeno ou grande o trabalho é o mesmo.
Olá.

Assim também dá:

C = 3000
r = 1000
i = 0,05
F = ?

F = [(C + r/i)*[FAC (i,n)] - nr/i]---->Fórmula
---->
F = [3000 + 1000/0,05]*[(1,05^5-1)/0,05] - 5*1000/0,05]
---->
F = 23000*[0,27628156/0,05] - 100000
---->
F = 23000*5,52563120 - 100000
---->
F = 27.089,52

Obs.: FAC = fator de atualização de capital; FAC (i,n) = FAC (5%, 5) = (1,05^5-1)/0,05 = 5,52563120

Um abraço.