Parte inteira de x

por OBMarcos Sex 08 Dez 2017, 02:07

Qual é a parte inteira de
X = 1 + 1/√2 + 1/√3 + ............ + 1/√99 + 1/√100 ?

por **fantecele** Sex 08 Dez 2017, 15:49

Primeiro irei demonstrar uma desigualdade:

$\\\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

Perceba que:

$\\\sqrt{n+1}>\sqrt{n}\rightarrow \sqrt{n+1}+\sqrt{n}>2\sqrt{n}\rightarrow \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{1}{2\sqrt{n}}\\Portanto:\\\\\sqrt{n+1}-\sqrt{n}<\frac{1}{2\sqrt{n}}\,\,\,(I)$

$\\\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$

Perceba que:

$\\\sqrt{n-1}<\sqrt{n}\rightarrow \sqrt{n-1}+\sqrt{n}<2\sqrt{n}\rightarrow \frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}>\frac{1}{2\sqrt{n}}\\Portanto:\\\\\sqrt{n}-\sqrt{n-1}>\frac{1}{2\sqrt{n}}\,\,\,(II)$

De (I) e (II) tiramos que:

$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}<\frac{1}{2\sqrt{n}}<\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$

Utilizando essa desigualdade no exercício:

$\\\sqrt{2}-\sqrt{1}<\frac{1}{2\sqrt{1}}<\sqrt{1}-\sqrt{0}\\\\\sqrt{3}-\sqrt{2}<\frac{1}{2\sqrt{2}}<\sqrt{2}-\sqrt{1}\\\\\sqrt{4}-\sqrt{3}<\frac{1}{2\sqrt{3}}<\sqrt{3}-\sqrt{2}\\\\...\\\\\sqrt{101}-\sqrt{100}<\frac{1}{2\sqrt{100}}<\sqrt{100}-\sqrt{99}$

Somando tudo:

$\\\sqrt{101}-\sqrt{1}<\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2\sqrt{100}}<\sqrt{100}\\\\2\sqrt{101}-2<1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}<20\\\\2.10-2<1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}<20\\\\18<1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}<20$

Portanto temos que a parte inteira de x é igual a 19 ou 18.

Então, estava pensando nisso para resolver o exercício, mas acabei "empacando" nessa parte, porém apareceu um probleminha para eu resolver agora, portanto tente completar o exercício, acho que é por esse caminho que se resolve ele.

por OBMarcos Sex 08 Dez 2017, 20:08

Obrigado!

Pensei um pouco e acho que sei como terminar o problema.

Podemos fazer essa soma a partir de n=2, daí fica
√100 -√2 < 1/(2√2) + 1/(2√3) + ... + 1/(2√100) < √100 - √1
2(10 - √2) < 1/√2 + 1/√3 + ... < 18
17,... < 1/√2 + 1/√3 + ... < 18
A parte inteira dessa soma é 17 , e adicionando 1 dá 18

por evandronunes Sex 08 Dez 2017, 20:42

Uma outra forma de encontrar.

Seja um número k positivo, temos que

\dfrac{1}{\sqrt{k}} > 2 \sqrt{k+1} - 2 \sqrt{k} > \dfrac{1}{\sqrt{k+1}}.

Demonstração:

1º) \left(\dfrac{1}{\sqrt{k}} + 2 \sqrt{k}\right)^2 = \dfrac{1}{k} + 4 + 4 k \ \ > \ \ 4 + 4 k = (2 \sqrt{k+1})^2

o que implica \dfrac{1}{\sqrt{k}} > 2 \sqrt{k+1} - 2 \sqrt{k}

2º) \left ( 2 \sqrt{k+1} - \dfrac{1}{\sqrt{k+1}} \right ) ^2 = 4k + \dfrac{1}{k+1} \ \ > \ \ 4k = (2\sqrt{k})^2

logo, 2 \sqrt{k+1} - 2 \sqrt{k} > \dfrac{1}{\sqrt{k+1}}.

Agora,

\frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{100}} > (2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) + (2 \sqrt{4} - 2 \sqrt{3}) + \cdots + (2 \sqrt{101} - 2 \sqrt{100}) = 2 \sqrt{101} - 2\sqrt{2} = 17,2...

E,

\frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{100}} < ( 2\sqrt{2} - 2\sqrt{1}) + (2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) + \cdots + (2 \sqrt{100} - 2 \sqrt{99}) = 2 \sqrt{100} - 2\sqrt{1} = 18

Assim, 17,2... < \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{100}} < 18

Adicionando 1 na desigualdade, vem 18,2... < 1+ \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{100}} < 19

Portanto, a parte inteira é 18.

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