Velocidade na corda

Uma corda uniforme de comprimento L e massa m é mantida fixa em uma das extremidades e gira em um círculo horizontal com velocidade angular ω. Despreze a força da gravidade sobre a corda. Mostre que o tempo necessário para uma onda transversal se propagar de uma extremidade da corda até a outra é dado por:



Galera, essa questão eu não consegui achar daonde veio esse fator raiz de 2 ai no denominador e ficou assim minha conta.

t=L/v
tal que v é a velocidade da onda na corda.

Eu usei essa relação w=k.v(1) onde k é o número de onda.
isolando o v=w/k e k=

coloquei essa relação na parte (1) achando a velocidade igual a 



Dai eu joguei na eq da velocidade v=d/t e d=L. isolando o tempo eu fiquei com a seguinte expressão

   (E  eu acho que foi aqui que eu errei '-')

Dps eu subsitui:


Achando como resultado final:



Gente, quem poder me ajudar nessa questão ficarei grato.

Obs: Também não entendi muito bem o enunciado quando ele fala "gira em um círculo horizontal com velocidade angular ω". O que ele quer dizer com isso? Que a onda não ta se propagando em "linha reta"?

Galeraaa!!!! Eu consegui fazer!!! Só que por um método que eu considero difícil!!

Mas eu vou colocar o meu método de resolver aqui, se alguem tiver outro, por favor, compartilha ai comigo e com o pessoal!!!!!

Resolução:

O problema é o seguinte: A corda tá girando lá de boas presa numa extremidade e livre na outra (acho que todo mundo já brincou disso kk)... Eu fiz o diagrama de forças para essa corda de maneira que a tensão na corda atua como força centrípeta, desconsiderando a força peso, pois o próprio enunciado diz isso:

Logo:
    
 Sóo que o primeiro problema a ser enfrentado nessa questão é que a tensão varia em cada ponto da corda, o que causa uma defasagem entre dois pontos da corda qualquer, pois a velocidade varia com a tensão!
QQ eu fiz: Peguei um ponto qualquer da corda tal que sua massa era uma porcentagem da massa total, dada  por:

  

Outra coisa importante é que o raio, dependendo daonde eu pego esse ponto com uma porcentagem de massa, varia de forma que eu posso escrever:


Jogando esses resultados na formula da tensão lá  em cima, eu acho a tensão em qq ponto da minha corda. E fica desse Jeito:

Explicitando como uma função de r:

(2)

Até ai de voas! porem o mais complicado pra mim foi como achar uma a velocidade na corda se a tensão ta variando? Ai o resultado acima eu joguei na formula da velocidade de uma onda em uma corda:



Só que a densidade linear é m/L. Aplicando a equação que eu achei lá que eu chamei de (2) e em seguida simplificar (  Uma conta facil até)
A gente chega em:



Agora, entra um artifício de cálculo diferencial e integral:

seja v=dr/dt então dt=dr/v  :

Acompanha a parte final ai:



Agora  temos que integrar essa eq ai!! E fica:


E finalmente, o resultado:


Foi!

Então galera foi desse jeito que eu consegui resolver, se alguem tiver algum jeito que não seja por cálculo, um outro método de fazer esse tipo de questão seria legal!!! Pra ganhar tempo e talz!!

Obrigado desde já!!!

Obs: é T(r), não T(x)!!

Muito bom. Acho que não tem outro jeito não, só com cálculo mesmo.

Enriquecedora, valeu!