PROGRESSÕES X FUNÇÕES

por MakiseKurisu Qua Out 11 2017, 18:14

Relembrando a primeira mensagem :

Galera, acabei de estudar funções e entrei para progressões. Percebi que o termo geral é uma função (Pa= função afim e Pg= Função exponencial). Ainda não captei qual a diferença entre as duas (Progressão e função). Se não há diferença, por que então estudar as duas? Para poder resolver de maneiras diferentes?

por Starman Sáb Out 14 2017, 23:37

Verdade, eu me equivoquei em delimitar o domínio o contradomínio das funções afim e exponencial. No entanto, eu nada afirmei sobre os termos das progressões terem que ser reais...eu afirmei sobre o domínio, não o contradomínio.

Para PA:
f(x)=ax+b

Em que b é o primeiro termo da função
a é a razão da PA
x=n-1 em que n é a posição do termo dentro da sequência
f(x) é um termo da PA

Para PG

f(x)=k.q^(x)

Em que k é o primeiro termo da PG
q é a razão da PG
x=n-1 em que n é a posição do tempo dentro da sequência

Como não há posição negativa ou posição 0, n é sempre maior ou igual à 1. Por isso, n-1 dá sempre um resultado natural...concluindo, x é natural nessa função.

Sequência de fibonacci:

Para n=1, f(x)=x em que n=x
Para n=2, f(x)=x-1 em que n=x
Para n maior ou igual à 3: f(x)=f(x-1)+f(x-2) em que n=x

f(x)=termo da sequência
n=posição dentro da sequência

por Aie Oa Qui Ago 03 2023, 19:35

Apesar de que haja relação entre P.A. e função afim, elas não a mesma coisa. Veja o vídeo do professor Ledo Vaccaro intitulado pelo nome “Qual a relação entre P.A. e Função Afim?” no YouTube.

por Lucas_DN684 Qui Ago 03 2023, 22:43

A primeira vez que eu estudei a respeito de sequências foi com o livro do Iezzi, onde ele introduz o volume 4 fornecendo uma definição de sequência que sempre me deixou satisfeito:

"Chama-se de sequência finita toda aplicação f do conjunto ℕ_n^*={1,2,3,...,n} em ℝ" ou "f={(1, a₁), (2, a₂), (3, a₃), ..., (n, a_n)}"

Para sequências infinitas o raciocínio seria análogo, mas o ponto é aquele que creio o @Starman ter se referido. Nesse sentido, P.A e P.G seriam apenas casos particulares de sequências que são escritas de um modo mais compacto do que aquele da definição, isto é, apenas mostrando a sequência das imagens da aplicação: "f(a_i)_i_∈I" , que lê-se "sequência f dos termos ai em que o conjunto de índices é I" ou, ainda mais direto ao ponto: "f=(a₁, a₂, a₃, ..., a_n)", que é o mais comum onde apenas explicitamos a imagem da aplicação.

Isso vai ao encontro do vídeo do Ledo que @Aie Oa referiu, onde é afirmado que: "Uma P.A. é uma restrição de uma função afim ao conjunto dos números naturais. Lembremos que uma função afim caracteriza-se por: a intervalos iguais de x correspondem intervalos iguais de y".

Aliás, é um ótimo vídeo a fins educacionais; o deixarei em anexo.

por Aie Oa Sex Ago 04 2023, 09:49

Elcioschin escreveu:Acho que não: √3, 2.√3, 3.√3 é uma PA de razão √3 e os “termos não são naturais”.
Veja bem, ele não disse que os termos são naturais, ele disse que o domínio de uma progressão aritmética pertence aos naturais, pois a ordem dos termos sempre vai começando do 1 ao n. Ou seja, tem-se o termo 1, 2, 3, 4, 5, 6... n. Então a P.A. é uma função afim com várias restrições, enquanto a função afim em geral não tem restrições, a não ser que a≠0.

por **Elcioschin** Sex Ago 04 2023, 10:25

O número 0 também faz parte dos números naturais e não faz parte do domínio das progressões.

Isto pode causar confusão nos estudantes que tentam resolver questões de PA e PG usando funções.

Aconselho, portanto, resolver questões de PA, PG pelo método tradicional, devido a:

1) As fórmulas de PA e PG são bem conhecidas, para calcular um determinado termo, o número de termos, a razão e a soma dos termos

2) Existem propriedades específicas de PA e PG que facilitam os cálculos:

2.1) Na PA cada termo é a média aritmética dos termos equidistantes dele.

2.2) Na PG cada termo é a média geométrica dos termos equidistantes dele.

2.3) Na PG existe fórmula para cálculo do produtos dos termos

2.4) Numa PG infinita, decrescente, a fórmula da soma dos termos é simplificada