Progressões e funções

por Jvictors021 Ter maio 03 2022, 21:00

Considere a função real [latex]f(x) = \sqrt{x^2 -3x + 2}[/latex] Analisando a sua imagem, é correto afirmar que os dez primeiros números naturais formam uma progressão:

(A) Geométrica, cuja soma é 90
(B) Aritmética, cuja soma é 45
(C) Geométrica, cuja soma é 135
(D) Aritmética, cuja soma é 90
(E) Aritmética, cuja soma é 65

GABARITO B

por **Giovana Martins** Ter maio 03 2022, 21:32

Note que o domínio de f(x) corresponde a x ≤ 1 ou x ≥ 2, onde f(1) = f(2) = 0, logo, Im(f) = {y ∈ ℝ | y ≥ 0}.

Sendo assim, Im(f) = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (considerando apenas os números naturais, ainda que a Im(f) pertença aos reais). Isto é uma P.A. de razão 1 cuja soma dos 10 primeiros termos resulta em 45.

por Jvictors021 Qua maio 04 2022, 04:41

Giovana Martins escreveu:
Note que o domínio de f(x) corresponde a x ≤ 1 ou x ≥ 2, onde f(1) = f(2) = 0, logo, Im(f) = {y ∈ ℝ | y ≥ 0}.

Sendo assim, Im(f) = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (considerando apenas os números naturais, ainda que a Im(f) pertença aos reais). Isto é uma P.A. de razão 1 cuja soma dos 10 primeiros termos resulta em 45.

Giovanna, inicialmente eu fiz a condição de existência da mesma forma que você fez, mas na hora do simulado tive a "brilhante"
ideia de testar x = 0 e ao fazer isso, vemos que "satisfaz" a condição de uma raiz quadrada (radicando > 0).

Plotei o gráfico no geogebra e foi apresentado o intervalo do domínio conforme você informa, mas eu realmente gostaria de saber o motivo de x =0 não ser o domínio e ainda sim satisfazer a condição da raiz

por **qedpetrich** Qua maio 04 2022, 11:11

João, mas x = 0 faz parte do domínio, esse valor se encontra no intervalo x ≤ 1, satisfazendo a condição da raiz. Esse valor não serve, pois não resulta em um quadrado perfeito, afinal, estamos buscando imagens naturais, obrigatoriamente o radicando deverá ser quadrado perfeito. Note que nem sequer precisamos saber quais são os valores do domínio que satisfazem tal condição, a Giovana já concluiu que a imagem será sempre positiva, ou seja, o conjunto dos naturais está contido na Im(f), basta contabilizar os 10 primeiros.