Prisma triangular regular e cilindro

por Luana Skywalker Sex 15 Set 2017, 09:50

1-Num cilindro reto de altura 6sqrt3 , completamente cheio de água, foi imerso um prisma triangular regular de altura 2∏, conforme a figura:

Prisma triangular regular e cilindro Prisma11

A razão entre o volume de água que transbordou e o volume do cilindro é:

R: 1/4

Então, compreendi que o volume de água transbordado é igual ao volume do prisma triangular.
Para calcular o seu volume é Área da base vezes a sua altura. O problema que não estou conseguindo achar a área da base desse triângulo Rolling Eyes

por **Nina Luizet** Sex 15 Set 2017, 11:07

Sugestão :

De fato, o volume de água que transbordará equivale ao volume do prisma cuja base é um triângulo equilátero( isso é validado pelo princípio de Arquimedes).
A questão não fornece o raio da base, mas podemos aplicar a relação entre figuras semelhantes, já que compartilham da mesma base.
Assim, sabe-se que Rcilindro = 2/3H do triangulo equilátero. (Relação I)

Relação II :
h/H = l/L

Tente aplicar esse raciocínio.

por Luana Skywalker Sex 15 Set 2017, 15:51

A relação I eu entendi.

Acabei fazendo:
Rcilindro = 2/3H

Como a altura do triângulo equilátero é : l (sqrt3)/2

Substitui e deu: Rcilindro = l (sqrt3)/ 3

Daí, a Relação II eu não compreendi, até tentei fazer semelhança, só que está dando umas coisas estranhas aqui hehe

por Daedalus00 Sex 15 Set 2017, 16:35

Luana Skywalker escreveu:A relação I eu entendi.

Acabei fazendo:
Rcilindro = 2/3H

Como a altura do triângulo equilátero é : l (sqrt3)/2

Substitui e deu: Rcilindro = l (sqrt3)/ 3

Daí, a Relação II eu não compreendi, até tentei fazer semelhança, só que está dando umas coisas estranhas aqui hehe

"Substitui e deu: Rcilindro = l (sqrt3)/ 3", pronto, agora é só aplicar na fórmula da área do triangulo equilátero, e o resto vc sabe fazer, mas se quiser fazer pela relação 2 dela, eu tbm não entendi ainda.

por **Elcioschin** Sex 15 Set 2017, 18:54

Seja H = 6.√3 a altura do cilindro e h = 2.pi a altura do prisma
Seja R o raio do cilindro e L o lado da base do prisma.

L = 2.R.cos30º ---> L = 2.R.(√3/2) ---> L = R.√3 ---> L² = 3.R²

Volume do cilindro ---> Vc = pi.R².H ---> Vc = 6.√3.pi.R² ---> I

Volume do prisma ---> Vp = (L².√3/4).h ---> Vp = (3.R²).(√3/4).2.pi ---> Vpi = (3.√3/2).pi.R² ---> II

Vp/Vc = (3√3/2)/(6.√3) --> Vp/Vc = 1/4