Esfera dentro de um prisma triangular regular

Admitindo  determine o valor aproximado da porcentagem ocupada pelo volume da bola em relação ao volume da caixa.

---------------------------
Minha dúvida é como encontrar a relação entre o raio do círculo com a medida do lado do prisma. Em todas as questões de geometria espacial, minha dúvida é esta; Qual a melhor forma?
Existe uma forma de eu ''abrir'' o prisma, transformando-o em uma imagem plana? Segue uma imagem;
https://2img.net/r/ihimg/photo/my-images/29/jq5w.png/
----------------------------

Se é um prisma triangular regular as bases são triângulos equiláteros de lado L.

Seja r o raio da esfera

altura do prisma ----> H = 2r

Desenhe um triângulo equilátero ABC, de lado L representando uma das bases.
Inscreva um círculo no triângulo, de raio r e centro O e trace os três raios OM, ON e OP perpendiculares aos lados AB, BC e CA, respectivamente

OM = ON = OP = r ----> Esta medida corresponde a 1/3 da altura h do triângulo:

h = L.cos30º ----> h = L.\/3/2

r = h/3 ----> r = (L.\/3/2)/3 ----> r = L.\/3/6 ----> L² = 12.r² ----> I

Pronto, já tens a relação entre L e r

Calcule agora o volume do prisma ----> Vp = Sb.H ----> (L².\/3/4).2r ---> Substitua L² por I

Volume da esfera = (4/3).pi.r³


Pronto. Faça as contas finais

Elcioschin escreveu:Se é um prisma triangular regular as bases são triângulos equiláteros de lado L.

Seja r o raio da esfera

altura do prisma ----> H = 2r

Desenhe um triângulo equilátero ABC, de lado L representando uma das bases.
Inscreva um círculo no triângulo, de raio r e centro O e trace os três raios OM, ON e OP perpendiculares aos lados AB, BC e CA, respectivamente

OM = ON = OP = r ----> Esta medida corresponde a 1/3 da altura h do triângulo:

h = L.cos30º ----> h = L.\/3/2

r = h/3 ----> r = (L.\/3/2)/3 ----> r = L.\/3/6 ----> L² = 12.r² ----> I

Pronto, já tens a relação entre L e r

Calcule agora o volume do prisma ----> Vp = Sb.H ----> (L².\/3/4).2r ---> Substitua L² por I

Volume da esfera = (4/3).pi.r³


Pronto. Faça as contas finais

Muito obrigado mestre;