Calcular a área

por RamonLucas Sex 21 Jul 2017, 10:01

No gráfico, BF é perpendicular ao plano do quadrado ABCD, se: AB = BF = a e M é ponto médio de CD, achar a área de la região sombreada.

$a)\frac{a^{2}}{4}$

$b)\frac{a^{2}\sqrt{2}}{4}$

$c)\frac{a^{2}\sqrt{2}}{2}$

$d)\frac{3a^{2}}{8}$

$e)\frac{a^{2}}{2}$

Gabarito letra E

por **Elcioschin** Sex 21 Jul 2017, 10:23

Começando:

Trace as retas auxiliares BM e BD

BM² = BC² + CM² ---> BM² = a² + (a/2)² ---> BM² = 5.a²/4 ---> I

BD² = AD² + AB² ---> BD² = a² + a² ---> BD² = 2.a² ---> II

FM² = BM² + BF² ---> FM² = 5.a²/4 + a² ---> FM = 3.a/2

DF² = BD² + BF² ---> DF² = 2.a² + a² ---> DF = a.√3

Já tens os três lados do triângulo. Prossiga: use a Lei dos cossenos para calcular cosseno de um dos ângulos. Depois calcule o seno do ângulo: S = a.b.senθ/2

por nishio Sex 21 Jul 2017, 10:28

Olá!
Repare que com as retas traçadas podemos formar os seguintes triângulos: FBM, retângulo em B. BCM, retângulo em C. FBD, retângulo em B. DAB, retângulo em A.
Aplicando o teorema de Pitágoras, podemos encontrar as medidas DB e posteriormente FD. E, ainda, podemos fazer o mesmo para encontras as medidas MB e, posteriormente, FM.
Com as medidas do triângulo MFD, aplique a fórmula de Heron e encontre a área.
Espero ter ajudado!

por **Medeiros** Sex 21 Jul 2017, 13:04

A área sombreada, triângulo FMD, está no plano CDF, tem base sobre o segmento CD e sua altura certamente é CF. Então
S = MD*CF/2 = (a/2)*(a√2)/2 = (a^2).√2/4 -------> alternativa B (gabarito errado)