Calcular a área

Considere a circunferência de centro O e raio R da figura. Seja P um ponto exterior a
circunferência, a partir dele se traçam duas tangentes a circunferência, onde A e B são os
pontos de tangência. Se a medida do segmento OP é igual a 2R, calcule a área da região
em amarelo.

https://i.servimg.com/u/f81/20/36/37/16/1210.png

Link para figura

Oi! Você não tem o gabarito dessa questão?

Eu fiz assim: Por potência de ponto, sabe-se que: PA.PB = [latex]d^{2}[/latex] - [latex]R^{2}[/latex], sendo d a distância do ponto P ao centro da circunferência.

Como são tangentes pelo mesmo ponto à circunferência, PA=PB, de modo que: [latex]PB^{2}[/latex] = [latex]2R^{2}[/latex] - [latex]R^{2}[/latex] => PB = [latex]\sqrt{3}[/latex].R

O triângulo POB, portanto, revela-se um notável 30º, 60º e 90º por causa dos lados, sendo possível, agora, calcular a área do setor circular AOB:

AÔB = 120º => Asetor = [2[latex]\Pi [/latex]/3.[latex]R^{2}[/latex]]/2 = [latex]\Pi [/latex]/3.[latex]R^{2}[/latex]

A área do triângulo AOB pode ser dada por: A = 1/2.R.R.([latex]\sqrt{3}[/latex])/2 = ([latex]R^{2}[/latex].[latex]\sqrt{3}[/latex])/4

A área do segmento circular é, portanto A2 = Asetor-A.

Agora, resta calcular a área do triângulo equilátero PAB, que possui lados R.[latex]\sqrt{3}[/latex] => Aeq = [(R.[latex]\sqrt{3}[/latex])^2.[latex]\sqrt{3}[/latex]]/4 = 3.[latex]R^{2}[/latex]/4

Agora é só fazer Aeq-A2

Eu não tenho o gabarito da questão ,obrigada por me ajudarem  

Iamim

a resposta é -----> A = R².(√3 - pi/3)