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Mensagem por Liliana Rodrigues em Dom 09 Jul 2017, 18:52

(Fuvest) Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a:
a) a √3
b) a √2 
c) a √3/2
d) a √2/2 
e) a√2/4

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Mensagem por AlessandroMDO em Dom 09 Jul 2017, 19:33

Como ele está colocado bem sobre o ponto médio das arestas, os triângulos verdes que ele forma são todos equiláteros de aresta a/2.
Spoiler:


Tetraedro regular D7dvaek0SwGShyfZ6OBYZA

Ou seja, os dois lados azuis valem a/2 também. Por Pitágoras:

x²= (a/2)²+(a/2)²
x²= a²/4 + a²/4
x²= 2a²/4
x = a√2/2 
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Mensagem por Liliana Rodrigues em Dom 09 Jul 2017, 20:03

Eu não consegui entender como forma triângulo equilátero em cima. Se cada face é um triângulo equilátero, então seus ângulos são todos 60º. Então ali do lado, 60+60= 120º, e pela leis dos cossenos, eu achei que o lado referente ao ângulo de 120º= a√3/4. Usando geometria e achando os ângulos, eu encontrei que o triângulo verde em baixo realmente é equilátero, aí fazendo por Pitágoras dá x=a. Não entendi por que ali em cima é equilátero...




Tetraedro regular Tetrae10

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Mensagem por AlessandroMDO em Dom 09 Jul 2017, 20:48

Calculando a altura desse triângulo usando o triângulo da direita:
Spoiler:

Tetraedro regular 4-XXceyoTfyVOPiIpQaXxg


(a/2)² = h² +(a/4)²
a²/4 = h² +a²/16
a²/4 - a²/16 = h²
3a²/16 = h²
h = a√3/4


Sabendo a altura, pode-se calcular a aresta azul do triângulo da esquerda:


x² = (a/4)²+(a√3/4)²
x² = a²/16+(a².3/16)
x²= 4a²/16
x²= a²/4
x = a/2, que é a medida do traçado azul. Ou seja, ele é equilátero.


Em relação aos ângulos, você está confundindo os planos, você está considerando o lado de baixo e o lado de trás, enquanto estamos analisando somente o lado da frente:


Spoiler:

Tetraedro regular _QhCrgBAQ6e5lulTwwJ72g




Na figura não fica claro, pois está toda fora de forma mas o segmento azul é paralelo à aresta da esquerda, sendo cortado pela reta em baixo, ou seja, o ângulo de 60º do canto esquerdo é o mesmo ângulo do canto direito encostado na reta azul. O mesmo vale para o ângulo superior.


Última edição por AlessandroMDO em Seg 10 Jul 2017, 09:39, editado 1 vez(es)
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Mensagem por Medeiros em Dom 09 Jul 2017, 22:09

O Alessandro obteve a resposta do gabarito mas não vi sentido nos desenhos dele, então nem acompanhei a sua resolução.

De qualquer forma, essa questão já foi resolvida no fórum pelo menos duas vezes. Veja:
https://pir2.forumeiros.com/t78283-tetraedro
e
https://pir2.forumeiros.com/t105448-distancia-entre-arestas-de-uma-piramide
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Mensagem por AlessandroMDO em Dom 09 Jul 2017, 23:15

De fato, os desenhos ficaram um lixo  Laughing

Spoiler:


Tetraedro regular NSZrz_2WScuYP4M_r6guaw
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Mensagem por Medeiros em Seg 10 Jul 2017, 00:50

Perfeito, Alessandro, entendi agora.
Você tomou as bases médias dos triângulos equiláteros das faces e calculou a hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles.
Ficou uma solução simples e fácil/rápida. Mas você partiu do fato de que aquele ângulo é reto sem antes tê-lo demonstrado. Como você sabia que o ângulo é reto?
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Mensagem por AlessandroMDO em Seg 10 Jul 2017, 01:22

De fato, apenas o considerei. Pareceu tão óbvio que sequer pensei na possibilidade de não ser reto. Você conhece alguma maneira de demonstrar?
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Mensagem por Medeiros em Seg 10 Jul 2017, 01:38

Indiretamente você acaba de mostrar.
Se considerarmos a distância d calculada pelos links acima, pode-se aplicar a lei dos cossenos no seu triângulo vermelho e obter o valor do ângulo.
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Mensagem por gabriel.ricci.oliveira.95 em Ter 15 Out 2019, 22:09

Alguem poderia me explicar porque o triangulo formado é retangulo?

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Mensagem por Elcioschin em Ter 15 Out 2019, 22:30

Veja a figura com outra solução:

Tetraedro regular Tetrae10
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Mensagem por gabriel.ricci.oliveira.95 em Qua 16 Out 2019, 16:54

Mestre Elcioschin, mas porque o angulo A(M)N é reto?

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Mensagem por Elcioschin em Qua 16 Out 2019, 18:13

Leia a parte em azul:

Tetraedro regular Tetrae11
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Mensagem por Motumbus brasiliensis em Qua 16 Out 2019, 18:14

Tetraedro regular Sem_tz22
"Em um triângulo isósceles a mediatriz relativa à base, a bissetriz relativa ao ângulo oposto ao da base, a mediana e a altura relativas a base coincidem."
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_is%C3%B3sceles
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