Tetraedro

096) (Unicamp99-SP) Cada aresta de um tetraedro
regular mede 6 cm. Para esse tetraedro, calcule:
a) a distância entre duas arestas opostas, isto é, entre
duas arestas que não têm ponto comum;
b) o raio da esfera inscrita no tetraedro.

Respostas
a) d = 3 2 cm
b) r = 2 / 2 cm

n consegui achar o triangulo retangulo dentro da figura

obs.: seu gabarito está errado.



Devido à simetria do tetraedro, sabemos que o centro das circunferências inscrita e circunscrita estão ambos contidos na intersecção das alturas do tetraedro.

Sejam:
r o raio da circunferência inscrita (r = GF = FH)
2a a medida da arestra do tetraedro

a) a distância entre duas arestas opostas, isto é, entre duas arestas que não têm ponto comum.
Triângulo AED:
AE = DE = 2a√3/2 = a√3
GE = EH = (1/3)a√3 = a√3/3
EI² = DE² - DI²
EI² = 3a² - a²
EI² = 2a²
EI = a√2 --------------> d = 3√2 cm

b) o raio da esfera inscrita no tetraedro.
Triângulo EID:
ID² = EI² + ED² - 2(EI)(ED)cosθ
a² = 2a² + (a√3)² - 2(a√2)(a√3)cosθ
a² = 2a² + 3a² - (2a²√6)cosθ
4a² = (2a²√6)
cosθ = 2/√6

Triângulo EHF:
cosθ = (a√3/3)/EF = 2/√6 ∴ EF = a√2/2
FH² = EF² - EH²
r² = 2a²/4 - 3a²/9
r = a/√6 -------------> r = 3/√6 ------> r = √6/2 cm


Créditos ao Furuyá -- 26/02/2006

outro modo:

b) raio da esfera inscrita.

∆EFH ~ ∆EDI
FH/EH = DI/EI
r/a = (a√3/3)/(a√2)
r = a√3/(3√2) = a√6/6 = 3√6/6 = √6/2 cm