(UFJF-MG) Função quadrática

(UFJF-MG) Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5} e sabendo-se que
o gráfico da função injetora f: A → A passa pelos pontos
(1, 3), (2, 5) e (3, 4), podemos concluir que
A) o gráfico de f passa pelo ponto (3, 1).
B) a função f admite inversa.
C) a função f é crescente.
D) a função f é decrescente.
E) o gráfico de f passa pelo ponto (5, 4).

gabarito=B

PRECISO DE UMA EXPLICAÇÃO DETALHADA PARA MINHA PRÓPRIA COMPREENSÃO.

(fiz um sistema com 3 incógnitas e concluí que a=-9/2 b=43/2 c=-14). Quero saber se era mesmo preciso estabelecer a expressão da função para resolver a questão. E se sim, onde errei pois f(4) deu  igual a 0, o que torna impossível de ser bijetora/inversa.

Não existe razão para concluir que trata-se de uma função de segundo grau, observe também que ele informou que f é uma função injetora, não podendo ser de segundo grau pois se traçarmos retas horizontais e paralelas ao eixo oX ,elas interceptarão a função em mais de um ponto. Acredito que é uma questão de discussão e análise.



A última proposição é a própria condição de f ser função. Tendo em mente essas informações:

a) Incorreta, pois f é injetora e o elemento 3 do conjunto A está associado ao elemento 4.

b) Correta, a função é de A em A o que garante que os elementos do domínio estão associado com os elementos do contradomínio e só existe uma relação. Implica que o contradomínio será igual a imagem de f, logo, f é sobrejetora, mas como ela é injetora ela será bijetora, portanto, f admitirá uma inversa.

c)

  
O que não é verdade pois 2<3 mas 4>5 é absurdo

d)


 O que não é verdade pois 1<2 mas 3>5 é absurdo.

e) Incorreta. Na condição de existência da função e como a função é injetora, a função não pode passar pelo ponto (5,4). Só existem duas possibilidades para o elemento 5 do domínio estar associado a um único elemento do contradomínio, isto é, só poderemos ter os pontos (5,1) ou (5,2).

Obrigado Willian, me esclareceu muito! 
Percebi que minha dificuldade foi em enxergar como de costume IR -> IR. Sendo uma função injetora, nada garante que ela seria sobrejetora. Porém, como é limitado ao conjunto "A" e é de fato injetora, obrigatoriamente ela é também sobrejetora, o que da a qualidade de bijetora e admite uma inversa.

Em segundo, meu equívoco em julga-lá como quadrática, mesmo achando estranho a afirmação do enunciado em dizer que é injetora.