Matemática Financeira

Luiz 2017 escreveu:

jota-r escreveu:

Cristina Lins escreveu:Supondo juros de 0,5% ao mês, quanto você deve investir mensalmente, durante 30 anos, para obter ao fim deste prazo, por 30 anos, uma renda mensal de R$ 100,00?

Olá, Cristina e Luiz


Este exercício postado pela Cristina eu resolvi de duas maneiras diferentes da apresentada pelo Luiz, razão pela qual, com a 
licença de ambos e com  o intuito de agregar ao fórum o maior número possível de alternativas para a solução de problemas 
semelhantes.

Resolução 1:


1º) Cálculo do valor presente da renda mensal de 100,00, que você vai auferir na aposentadoria

Fórmula: PV = PMT*(1+i)^(-k)*[1 - (1+i)^(-n)]⁄i, onde:

PV = valor presente da renda = ?
PMT = valor da renda (100,00)
i = taxa de juros = 0,05% a.m. = 0,005 a.m.
k = período de carência (nº de meses SEM retidada da renda) = 30 anos = 360 meses
n = nº de meses COM retirada da renda = 360 meses

Substituindo os dados na fórmula e fazendo as contas, temos:

PV = 100*1,005^(-360)*[1 - 1,005^(-360)]/0,005
---->
PV = 16,60419*0,83396/0,005
---->
PV = 16,60419*0,83396/0,005
---->
PV = 2769,446


2º) Cálculo do Valor presente dos investimentos (depósitos):

Fórmula: PV = PMT*[1-(1+i)^(-n)]/i, em que:

PV = Valor presente das rendas mensais = 2769,446
PMT = (valor unitário dos depóstos. É a resposta do problema)?
i = taxa de juros = 0,005 a.m.
n = nº de depósitos a serem efetuados = 360

Colocando os dados na fórmula e calculando, vem:

2769,446 = PMT*[1-1,005^(-360)]/0,005
---->
2769,446 = PMT*0,83396/0,005
---->
2769,446 = PMT*166,79200
---->
PMT = 2769,446/166,79200 = 16,60---->resposta


Resolução 2:

1º) Cálculo do montante da renda mensal de 100,00

Fórmula: FV = PMT*[(1+i)^n - 1]/i, em que:

FV = montante das rendas mensais retiradas durante a aapósentadoria
PMT = valor unitário da renda mensal = 100,00
i = taxa de juro =  0,005 a.m.
n = nº de retiradas da renda = 360 meses

Substituindo os dados na fórmula e calculando, temos:

FV = 100*(1,005^360-1)/0,005
---->
FV = 100*5,0226/0,005
---->
FV =  100452,00

2º) Cálculo do montante dos depósitos mensais:

Fórmula: FV = PMT*[(1+i)^n-1/i*(1+i)^n, onde:

FV = montante das rendas = 100452,00
PMT = valor unitário dos depósitos mensais (é o que se pretende encontrar)?
i = taxa de juros = 0,005 a.m.
n = nº de depósitos a serem efetuados = 360

Colocando os dados na fórmula e fazendo as contas, vem:

100452,00 = PMT*(1,005^360-1)/0,005*1,005^360
---->
100452,00/1,005^360 = PMT*(1,005^360-1)/0,005
---->
16679,2438  = PMT*5,0226/0,005
---->
16679,2438 = PMT*1004,5200
---->
PMT = 16679,2438/1004,5200 =  16,60---->resposta


Um abraço.

Mas o gabarito da Cristina tem duas respostas: M = 16.679,16 e P = 16,60.