Produtos Notáveis e Fatoração

Quais das expressões abaixo dividem exatamente (x^81) - (x^10) - x + 1?

I. x² + x + 1
II. x² - x + 1
III. (x^4) + x³ + x² + x + 1
IV. (x^4) - x³ + x² - x + 1

a) I e II somente
b) III e IV somente
c) I e III somente
d) II e IV somente
e) II, III e IV somente

Questão de ciclo 0?

I)
x² + x + 1 == 0 mod (x² + x + 1)
x³ - 1 == 0 mod (x² + x + 1)
x³ == 1 mod (x² + x + 1)

x^81 - x^10 - x + 1 == (1)^27 - 1*x - x + 1 == 2 - 2x mod (x² + x + 1)

II)
x² - x + 1 == 0 mod (x² - x + 1)
x³ + 1 == 0 mod (x² - x + 1)
x³ == -1 mod (x² - x + 1)

x^81 - x^10 - x + 1 == (-1)^27 - (-1)x - x + 1 == 0 mod (x² - x + 1)
OK.

III)
(x^4) + x³ + x² + x + 1 == 0 mod ((x^4) + x³ + x² + x + 1)
x^5 - 1 == 0 mod ((x^4) + x³ + x² + x + 1)
x^5 == 1 mod ((x^4) + x³ + x² + x + 1)


x^81 - x^10 - x + 1 == x*(1)^16 - (1)² - x + 1 == 0 mod ((x^4) + x³ + x² + x + 1)
OK.

IV)
(x^4) - x³ + x² - x + 1 == 0 mod ((x^4) - x³ + x² - x + 1)
x^5 + 1 == 0 mod ((x^4) - x³ + x² - x + 1)
x^5 == -1 mod ((x^4) - x³ + x² - x + 1)

x^81 - x^10 - x + 1 == x*(-1)^16 - (-1)² - x + 1 == 0 mod ((x^4) - x³ + x² - x + 1)
OK.