ângulo externo

Na figura abaixo , calcule o valor de AB, sabendo que DB=2CD e que AB-AC=6


a) 10
b) 11
c) 12 << Gabarito (pode tá errado)
d) 13
e) 14

Seja θ = BÂD = CÂD e k = CD ---> DB = 2.k

A^DC = 180º - A^DB ---> A^DC = 180º - α - β

A^BD = 180º - (2.α + β ) ---> A^BD = 180º - 2.α - β

No ∆ ADB ---> θ + (α + β) + (180º - 2.α - β) = 180º ---> θ = α

No ∆ ACD ---> θ + α + (180º - α - β) = 180º ---> θ = β ---> α = β

∆ ACD é isósceles (A^CD = CÂD = α) ---> AD = CD = k

A^DC = 2.α ---> A^BD = 180º - 3.α

Basta agora aplicar Lei dos Senos nos triângulos ACD e ABD e calcular AB.

Lembre-se que sen(3.a) = 3.senα - 4.sen³a e que sen(180º - 3.α) = sen(3.α)

Outro modo.
Se, de início, já pudermos considerar que AD é bissetriz, basta usar o teorema da bissetriz interna.

Elcioschin escreveu:Seja  θ = BÂD = CÂD e k = CD ---> DB = 2.k

A^DC = 180º - A^DB ---> A^DC = 180º - α - β

A^BD = 180º - (2.α + β ) ---> A^BD = 180º - 2.α - β

No ∆ ADB ---> θ + (α + β) + (180º - 2.α - β) = 180º ---> θ = α

No ∆ ACD ---> θ + α + (180º - α - β) = 180º ---> θ =       β ---> α =  β

∆ ACD é isósceles (A^CD = CÂD = α) ---> AD = CD = k

A^DC = 2.α ---> A^BD = 180º - 3.α

Basta agora aplicar Lei dos Senos nos triângulos ACD e ABD e calcular AB.

Lembre-se que sen(3.a) = 3.senα - 4.sen³a e que sen(180º - 3.α) = sen(3.α)

Medeiros escreveu:Outro modo.
Se, de início, já pudermos considerar que AD é bissetriz, basta usar o teorema da bissetriz interna.

vcs assumiram os dois angulos em A sendo iguais, ou seja, assumiram que AD é bissetriz de CÂB. como chegaram a essa conclusao? pq nao consigo desenvolver sem isso...sempre acho que de um lado é igual a Beta e de outro é igual a Alfa... nao consigo concluir que Alfa = Beta

Por favor, me ajudem

Aí é que está, Gustavo, também não consigo resolver o problema sem assumir essa "conclusão" como premissa. Por isto assumi que houve falta de informação no enunciado transcrito e que AD é bissetriz e, note, fiz esta ressalva logo de início.

Outros indícios, porém, me ajudaram nesta "conclusão".

a) a figura apresentada é um desenho feito à mão por quem abriu o tópico e que já tinha matutado neste problema; então ele poderia ter esquecido de indicar esse detalhe que, para ele, já estava bem claro;

b) os dois ângulos em A estão indicados e se fossem diferentes, ou se não fizessem parte da informação, não haveria porque indicar; isto reforça a desconfiança do esquecimento;

c) o pinguim geralmente traz problemas simples, de aplicação imediata dos conceitos teóricos; neste caso há um gabarito e a solução mediante esta "conclusão" é simples e confirma o gabarito. Não fosse assim, o problema seria muito complicado e eu nem sei como resolvê-lo.

d) em alguns anos aqui no fórum já vivi situações em que, por um enunciado incompleto ou mal formulado, seguimos por caminhos muito complicados, perde-se muito tempo e não se chega a resultado algum, descobrindo, depois, a falha na informação. Por isso, quando complica muito, ou quando chega ao limite que a minha lógica alcança, é hora de abandonar a trilha ortodoxa (claro que, assim, também levo muitos tombos). No caso deste exercício, como não houve contestação do postador, imagino que as respostas o satisfizeram, logo eram dois ângulos iguais conforme imaginamos.

Medeiros escreveu:Aí é que está, Gustavo, também não consigo resolver o problema sem assumir essa "conclusão" como premissa. Por isto assumi que houve falta de informação no enunciado transcrito e que AD é bissetriz e, note, fiz esta ressalva logo de início.

Outros indícios, porém, me ajudaram nesta "conclusão".

a) a figura apresentada é um desenho feito à mão por quem abriu o tópico e que já tinha matutado neste problema; então ele poderia ter esquecido de indicar esse detalhe que, para ele, já estava bem claro;

b) os dois ângulos em A estão indicados e se fossem diferentes, ou se não fizessem parte da informação, não haveria porque indicar; isto reforça a desconfiança do esquecimento;

c) o pinguim geralmente traz problemas simples, de aplicação imediata dos conceitos teóricos; neste caso há um gabarito e a solução mediante esta "conclusão" é simples e confirma o gabarito. Não fosse assim, o problema seria muito complicado e eu nem sei como resolvê-lo.

d) em alguns anos aqui no fórum já vivi situações em que, por um enunciado incompleto ou mal formulado, seguimos por caminhos muito complicados, perde-se muito tempo e não se chega a resultado algum, descobrindo, depois, a falha na informação. Por isso, quando complica muito, ou quando chega ao limite que a minha lógica alcança, é hora de abandonar a trilha ortodoxa (claro que, assim, também levo muitos tombos). No caso deste exercício, como não houve contestação do postador, imagino que as respostas o satisfizeram, logo eram dois ângulos iguais conforme imaginamos.

Concordo plenamente com sua analise e conclusão, Medeiros.

em minha apostila está exatamente da mesma forma, indicando os angulos porem sem mais informaçoes complementares. 



Desta forma, para se chegar no resultado, somente assumindo AD como bissetriz, para aplicar a lei dos senos ou lei das bissetrizes internas, como sugeriu.

Agradeço a resposta, era o que eu precisava. Sem essa analise de alguem mais experiente do que eu, talvez eu nunca conformasse com esse possivel erro do enunciado da questao.

Êpa epa ôpa... Gustavo, aí a coisa já muda de figura, pode ser que seja mais complicado.

Se fosse para simplesmente aplicar o teor. da biss. int. não precisaria ter informado no desenho aquele monte de ângulo, bastava indicar ângulos iguais no vértice A.

Quem emitiu essa apostila? E, importante, esse exercício vem depois de quais estudos teóricos?

Quem sabe o Raimundo, que tem muitos livros e sacadas geniais, não aparece por aqui com um Ás tirado da manga do colete.

Percebo agora que, referindo ao seu desenho, os ângulos theta = alfa e phi = beta. Desta forma os triângulos ABC e DBA são semelhantes. Merece pensar mais um pouco...

Medeiros, se nao considerarmos AD como bissetriz, o exercicio fica extremamente dificil (para minha limitada capacidade). Como eu disse inicialmente, após chegar na conclusao de que theta = alfa e phi = beta, não consigo desenvolver mais, fico estagnado.

Esse exercicio vem no assunto sobre triangulos, que aborda todas teorias e relações. É um Preparatorio Pré-Militar - ExPCEx, preparado pela Eleva. (Juiz de Fora). Vale salientar que já encontrei diversos erros nessa apostila (erros de enunciado, dados e respostas)

outra observação galera , meu professor de geometria  tentou resolver essa questão na sala de aula e na casa dele , porém não conseguiu kkkkkkk