FUVEST - Área

Na figura, o retângulo ABCD tem lados de comprimento AB=4 e BC=2. Sejam M o ponto médio do lado BC e N o ponto médio do lado CD. Os segmentos AM e AC interceptam o segmento BN nos pontos E e F, respectivamente.



Quanto vale a área do triangulo AEF ? 

Resposta: 16/15

SAFE = SACM – SEFCM
SACM = CM.AB/2 = 1. 4/2 =2 → SAFE = 2 – SEFCM

S DAC = DA . DC / 2 = 2.4 / 2 = 4
FAB ≈ NCF → Fator de semelhança = k = 4/2 = 2
FP = 2OF → OF + FP = 2 → OF + 2OF = 2 → 3OF = 2 → OF = 2/3

SEFCM = SNCB - SNCF - MEB
SNCB = 2.2/2 = 2
SNCF = (2 . 2/3) / 2 = 2/3
SMEB: 1.EH / 2 = EH/2

ABM ≈ AGE
4/(4 – BG) = BM / BH mas BG = BH
4 / (4-BH) = 1 / BH → 4BH = 4 – BH → 5BH = 4 → BH = 4/5
EHB é isósceles → EH = BH → EH = 4/5
SMEB = EH/2 = 4/5 / 2 = 4/10 = 2/5
SEFCM = SNCB - SNCF - MEB
SEFCM = 2 – 2/5 – 2/3 = 14/15
SACM = 2 – SEFCM = 2 – 14/15 = 16/15

Ôoo Raimundo, já estava com saudades suas!
Segue mais um modo.


Faltou eu deixar explícito: a área S(ABCD)/4 é como calculei a área do triângulo ACM.

Oi Medeiros ,
Mudei de Apto e andei bem ocupado com as instalações.
Também penso que é bom dá a vez para algumas feras que tem postado ótimas resoluções.  Abs  
Problema bonito, e ótimas resoluções.

Gente, será que se colocar esse retângulo em um plano cartesiano e tentar achar a área por determinante não é mais fácil? Pensando assim, talvez fique mais fácil visualizar as construções que se deve fazer para chegar à resolução, já que tem que achar as coordenadas dos vértices. De qualquer forma, imagino que não daria pra escapar das semelhanças de triângulos.

Da sim, Hayzel Sh. Logo depois que eu postei essa questão aqui eu consegui resolver ela dessa maneira. Nem precisaria de fazer semelhança de triângulos. Basta encontrar as 3 coordenadas dos três pontos que formam o triângulo através das equações da reta. Depois você faz que a Area= 1/2 do modulo da determinante.

Certamente que dá para fazer por GA: é bem simples

Seja A a origem dos eixos, B no eixo x e D no eixo y:

A(0, 0) ; B(4, 0) ; C(4, 2) ; D(0, 2) ; M(4, 1) ; N(2, 2)

Equação da reta AM: y - 0 = (1/4).(x - 0) ---> y = x/4

Idem AC ---> y - 0 = (1/2).(x - 0) ---> y = x/2

Idem BN ---> y - 0 = -1.(x - 4) ---> y = - x + 4

Ponto E ---> xE/4 = - xE + 4 ---> xE = 16/5 ---> yE = 4/5 ---> E(16/5, 4/5)

Ponto F ---> xF/2 = - xE + 4 ---> xF = 8/3 ---> yF = 4/3 ---> F(8/3, 4/3)

Calcule agora a área o triângulo usando determinante.

Aaah, nossa, que legal essa resolução. Obrigada, Lucas e Elcio!