Questão UFMG Função Afim e Gráfico, Grande

10.150- (UFMG-Adaptado) Observe esta figura:



Na figura, L1 e L2 são segmentos de reta que ligam os pontos (0,2), (2,2) e (4,0).
Uma função f: [0,4] em Reais é definida associando-se a cada t pertencente [0,4] o valor da área da região limitada pelos eixos coordenados, pela reta vertical que intercepta o eixo das abscissas no ponto (t,0) e pela linha formada pelos segmentos L1 e/ou L2.

Por exemplo, o valor de f(5/2) é a área da região colorida na figura.

Considerando essas informações:

a)Determine os valores de f(1) e f(3)

Gabarito: f(1) = 2 (Essa eu já sabia) , f(3) = 11/2.

b)Determine as expressões de f(t) para 0 menor igual a t menor igual a 2 e para 2 menor que t menor igual a 4.

Gabarito: f(t) = 2t, se 0 menor igual a t e t menor igual a 2; -t^2/2 + 4t - 2, se 2 menor que t e t menor igual a 4.

É só calcular áreas e usar semelhança de triângulos ou a equação de reta inclinada: f(x) = -x + 4

Semelhança ---> (2 - 0)/(4- 2) = f(3)/(4 - 3) ---> f(3) = 1
Equação da reta ---> y = -x + 4 ---> Para x = 3 ---> f(3) = 1
 
f(3) = área do quadrado + área do trapézio
f(3) = 2.2 + (2 + 1).1/2 --> f(3) = 11/2

Prossiga

A equação da reta ainda é inviável já que se eu não me engano é geometria analítica e ainda estou estudando o livro do primeiro ano!

Então use semelhança de triângulos.

As das áreas eu consegui eu só não entendi é em como gerar essas expressões t que se pede no item b!

É a expressão da área, meu caro

Por exemplo para qualquer valor de t, no intervalo [0, 2] ---> S = t.2 ---> S = 2.t

Para um valor de t no intervalo [2, 4] ---> S = área do quadrado (4) + área do trapézio de bases 2 e t e altura t-2


Você está viciado a trabalhar somente com números. Quando tem que trabalhar com letras e números, você paralisa.

Então ficaria 2t + (t+2)/(2) . (t-2) mas tá dando = 2t + (t^2 -4)/(2)

e o gabarito é -t^2/2 +4t - 2

o senhor poderia armar o cálculo de forma correta para que eu possa analisar melhor

Sejam:

A (2, 0), B(4, 0), C(2, 2), D(0, 2) e P um ponto qualquer da reta BC (por ex.:  aquele ponto com abcissa 5/2)

Seja E o pé da perpendicular de P sobre o eixo horizontal t (e não eixo x como está no seu desenho) e seja EP = b (b é a base menor do trapézio ACPE, cuja altura é h = AE)

Temos: AC = 2 ---> AB = 2 ---> E(t, 0) ---> EB = 4 - t ---> AE = h = t - 2

Triângulos CAB e PEB são semelhantes: AC/AB = EP/EB --> 2/2 = b/(4 - t) ---> b = 4 - t


1) A fórmula S = 2.t vale SOMENTE no intervalo [0, 2] 

Esta fórmula nada mais é do que  área de um retângulo de base t e altura 2. 
Quando tivermos o valor máximo t = 2 a área máxima será 4 (o retângulo agora é um quadrado)

2) Para o intervalo [2, 4] a fórmula deverá ser a área do trapézio ACPE:

S' = (AC + EP).AE/2 ---> S' = (2 + b).h/2 ---> S' = (2 + 4 - t).(t - 2) ---> S' = (6 - t).(t - 2)/2 ---> 

S' = (- t² + 8.t - 12)/2 ---> S' = - t²/2 + 4.t - 6

Parece que seu gabarito está errado no último termo

Só um adendo é que na segunda parte o intervalo é ]2,4] e não [2,4].

Isto não altera em nada o resultado: o gabarito continua errado.