lançamento oblíquo a partir de uma rampa

ângulo de lançamento em relação à horizontal: φ = α + θ

v0x = vx = constante = v.cos(φ)

x = vx.t

x = v.cos(φ).t

v0y = v.sen(φ)

vy = voy - g.t = v.sen(φ) - g.t

y = voy.t - gt²/2 = v.sen(φ).t - gt²/2

a) x = v.cos(φ).t ; y = v.sen(φ).t - gt²/2

b) t = x /v.cos(φ)

y = v.sen(φ).(x /v.cos(φ)) - g(x /v.cos(φ))²/2

y = x. tan(φ) - g . x² / (2v².cos²(φ)

Fazendo como os termos constantes:

a ≡ g / (2v².cos²(φ)

b ≡ tan(φ)

Temos uma parábola:

y = bx - ax²

a < 0 --> concavidade para baixo (tristinha ⌒ )

c = 0 --> Passa na origem (x=0, y=0)

bx - ax² = 0

x( b - ax) = 0

Ou

x = 0

Ou

x = b/a (Alcance)

x da altura máxima: b/2a

Altura Máxima:

y =  b(b/2a) - a(b/2a)² = b²/2a - b²/4a

y = b²/4a

essa questão me intriga bastante pois nunca consigo interpretá-la eu consegui entender as manipulações realizadas, mas por exemplo digamos que eu quisesse saber qual a maior distância percorrida entre os pontos A e B, ou melhor como poderia obter a maior distância entre o segmento AB, caso θ=45º . qual seria esse o valor de α. Se puderes me ajudar mais ainda eu agradeço.

Acostume-se a colocar a questão exatamente como ela é, sem interpretar, alterar ou resumir.

Colocar o máximo de informação possível, como as alternativas, se houver, a fonte (origem da questão) e a resposta, se souber.

Por exemplo:

O que é o ponto B ?

Será que é o ponto alcançado pelo projétil ?

Edgar Gomes escreveu:(I) essa questão me intriga bastante pois nunca consigo interpretá-la ...

Qual a sua dúvida ou "intrigação" na questão ?

Imagine ela simplesmente assim:




(II) eu consegui entender as manipulações realizadas, <---  OK !

(III) ... qual a maior distância percorrida ??? entre os pontos A e B ? <---- ???

ou melhor como poderia obter a maior distância entre o segmento AB, caso θ=45º . qual seria esse o valor de α.

Será que é isso a sua pergunta:

Sendo B for o ponto onde o projétil se choca no plano inclinado de 45°, para que AB fosse máximo, qual seria o ângulo de lançamento (α + 45°)  ?

Será que é isso a sua pergunta:

Sendo B for o ponto onde o projétil se choca no plano inclinado de 45°, para que AB fosse máximo, qual seria o ângulo de lançamento (α + 45°)  ?


exato esse é a minha pergunta.

assim a questão eu não alterei ela é do jeito que coloquei essa minha dúvida foi um adendo que fiquei pensando, só que aí não consegui imaginar como seria possível resolver tal situação.

Edgar Gomes escreveu:
assim é a questão;
eu não alterei, ela é do jeito que coloquei ;

essa minha dúvida foi um adendo que fiquei pensando, só que aí não consegui imaginar como seria possível resolver tal situação.

Não compreendi muito bem...

Espero que a minha interpretação esteja correta...

Mas, vamos lá !

1) Você tem uma parábola que descreve a trajetória, os pares de pontos  (x; y), que o projétil faz, dada por:

p(x) = bx - ax²   .................. (I)

Onde:

θ = 45°

φ = α + θ

0° < φ < 90°

a ≡ g / (2v².cos²(φ)

b ≡ tan(φ)


2) O plano inclinado, conforme o esquema que eu mostrei, pode ser modelado (equacionado) por uma reta com inclinação θ = 45° que  passa pela origem dos eixos do referencial:

r(x) = mx + q

m = tan(45°) = 1

q = 0

r(x) = x  ....................... (II)


3) O ponto B(x_B; y_B) que a partícula alcança é a interseção entre a parábola p e a reta r , isto é, para um certo x, p(x) e r(x) tem o mesmo valor y :

p(x) = r(x)

Igualando-se (I) e (II):

bx - ax² = x

ax² - bx + x = 0

ax² +  (1 - b)x  = 0

(ax + 1 - b)x = 0

x = 0 

ou

ax + 1 - b = 0

x_B = (b - 1) / a

Substituindo as constantes a e b:

x_B = ( tan(φ) - 1 ) / ( g / (2v².cos²(φ) )

x_B = ( 2 v² / g ) ( tan(φ) - 1 ) . cos²(φ) )

x_B = ( 2 v² / g ) ( tan(φ) cos²(φ) -  cos²(φ) )

x_B = ( 2v² / g ) ( sen(φ) cos( φ) -  cos²(φ) )


a) Caso se saiba Cálculo Diferencial e Integral ( CDI ):

dx_B / dφ = 0

( 2v² / g ) ( sen(2φ) + cos( 2φ)  ) = 0

sen(2φ) + cos( 2φ)  = 0

sen(2φ)  =  - cos( 2φ) 

2φ = 135°

φ = 67,5°  =  67° 30 ' =  3∏ / 8


b) Caso não se saiba CDI:

x_B = ( v² / g ) ( 2sen(φ) cos( φ) -  2cos²(φ) )


Lembrando-se das identidades trigonométricas:


sen²(u) + cos²(u) ≡ 1

sen(u) ≡ - sen(u)

cos(-u) ≡ cos(u)

sen(u) ≡ cos(90° - u)

cos(u) ≡ sen(90° - u)

sen(180° - u) ≡ sen(u)

cos (180° - u) ≡ - cos(u)

sen(u + v) ≡ sen(u) cos(v) + sen(v) cos(u)

sen(2u) ≡ 2 sen(u) cos(u)

cos(2u) ≡ cos²(u) - sen²(u)

cos(u) - cos(v) ≡ -2 sen((u + v) / 2) sen((u - v) / 2)


Tem-se, aplicando-as:


x_B = ( v² / g ) ( sen(2φ)  -  ( 1 + cos(2φ) ) )

x_B = ( v² / g ) ( sen(2φ)  - cos(2φ)  - 1 )

x_B = ( v² / g ) ( cos(90° -2φ)  - cos(2φ)  - 1 )

cos(90° -2φ)  - cos(2φ) = -2 sen( (90° -2φ + 2φ) / 2 ) sen ((90° -2φ  - 2φ) / 2)

cos(90° -2φ)  - cos(2φ) = -2 sen( 45° ) sen (45° - 2φ) )

cos(90° -2φ)  - cos(2φ) = 2 sen( 45° ) sen (2φ -  45° ) )

x_B = ( v² / g ) ( √(2) sen(2φ - 45º)  - 1 )


Agora que temos a abcissa x_B como função do ângulo φ, basta achar φ  para termos um x_B máximo:

A função só depende da expressão [ √(2) sen(2φ - 45º) ] ser máxima, e isto ocorre quando a função seno é máxima, ou seja, quando o seu argumento é 90°:

2φ - 45° = 90°

2φ = 135°

φ = 67,5°  =  67° 30 ' =  3∏ / 8


4) Finalmente:

φ = α + θ

α = φ - θ

α = 3∏ / 8 - ∏ / 4

α = ∏ / 8  = 22,5° = 22° 30' ■

nossa ficou maravilhoso este raciocínio, muito obrigado mesmo.

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