Número de soluções positivas

Determine o número de soluções inteiras positivas da equação x+y+z= 8
Gab= 21

Eu sei que essa questão já foi postada no fórum, mas é q minha resolução não bate com o gabarito. Estou fazendo da seguinte forma: 8 palitinhos permutando entre dois sinais de +, de forma que;
Numero de soluções= 10!/8!2!

10 termos, com a repetição de 8 palitos e 2 sinais de mais. Qual o erro na resolução?

1 1 / 1 1 1 1 / 1 1  --> (2; 4; 2)

1 / 1 / 1 1 1 1 1 1  --> (1; 1; 6)

1 / 1 1 1 1 1 1 / 1  --> (1; 6; 1)

...

Tem-se duas barras para se particionar o conjunto de "uns".

Das 10 posições possíveis (8 "uns" mais 2 "barras"), não podemos colocar barras nas posições 1 e 10, nem em posições contíguas (barras juntas) pois x ou y ou z não podem ser nulos (pede-se as soluções positivas...).

Se não houvesse essas restrições, teríamos:

permutR( 10; 2; 8 ) = 10! / (2! 8!) = 10.9/2 = 45

Menos essa: (x = y = z= 0) !!!

. . . . . . . .

45 - 1 = 44 soluções.

Desse total temos que tirar onde aparecem as "barras juntas" (y=0), ou barras nas pontas (x= 0 ou z=0)...

// . . . . . . . . (x=y=0)

. // . . . . . . .  (y=0)

...

. . . . . . . . // (y=z=0)

São 9.

acrescido dessas permutações:

/ . . . . . . . . / (x=z=0)
/ . . . . . . . / . (x=0, y>0)
/ . . . . . . / . . (x=0, y>0) 
...
/ . / . . . . . . . (x=0, y>0)

Total de 8.

E dessas:

. / . . . . . . . / (z=0, y>0)
. . / . . . . . . / (z=0, y>0)
. . . / . . . . . / (z=0, y>0)
. . . . / . . . . / (z=0, y>0)
. . . . . / . . . / (z=0, y>0)
. . . . . . / . . / (z=0, y>0)
. . . . . . . / . / (z=0, y>0)

São 7.

=> 44 - 24 = 20

E agora ? ! ?

Onde tirei a mais...

Também havia feito do mesmo modo e errado. Vou comentar qual era o problema para complementar o tópico.

Quando o enunciado nos fala em soluções inteiras e positivas, x, y e z não podem ser 0. Do modo que estávamos fazendo, os casos em que algum deles poderia ser zero era contado, mesmo que escolhêssemos alguma situação favorável.

Para consertar esse problema, vamos começar colocando uma bolinha para cada variável, assim evitando que algum possa ser zero:

               .                 .                 .
               X                Y                Z

Como já demos uma bolinha para cada, significa que para fechar o problema, só precisamos distribuir mais 5 bolinhas, visto que a soma precisa dar 8. Agora terminamos normalmente.

               .                 .                 . 
               X                Y                Z
               ..        /       .         /      ..

A combinação escolhida aqui foi BBTBTBB, mas pode ser qualquer outra. Note que se deixarmos qualquer uma das letras sem uma bolinha, ela não será zero graças à bolinha fixa que delimitamos para cada uma. Portanto:

[latex]\ P_7 ^{5,2} = \frac{7!}{5! \; . \; 2!} = \boxed{21} \[/latex]