Equação da Elipse

Determine a equação da elipse de excentricidade ,cujos focos são pontos da reta (r) y+6=0 e sendo B1(3,1) um dos extremos de seu eixo menor.

Gabarito:

Desenhe, num sistema xOy, a reta (r) y = -6 e o ponto B₁(3, 1)

A distância entre o ponto B₁ e a reta r é o semi-eixo menor b:

b = 1 - (-6) ---> b = 7 ---> b² = 49

e = √2/2 ---> c/a = √2/2 ---> c²/a² = 1/2 ---> c² = a²/2

a² = b² + c² ---> a² = 49 + a²/2 ---> a²/2 = 49 ---> a² = 98

Centro da elipse é o ponto de encontro da reta x = 3 com a a reta y = -6 --> C(3, -6)

Equação da elipse:

(x - 3)²/98 + (y + 6)²/49 = 1

Ou existem dados errados no enunciado ou o gabarito está errado.

Boa noite,

Antes de tudo, o ponto B é (3, -1), e não (3, 1). Caso fosse, a solução seria a do mestre Élcio
e = c/a
Com um pouco de álgebra encontramos:

a = c\sqrt2

Além disso,

a² = b² + c²

2c² = b² + c²

c² = b²

Agora observe a reta y + 6 = 0 e o ponto B1(3;-1), note que a distância entre eles é -1 -(-6) = 5, que é o valor do semi eixo menor(b)

Assim, b = 5, b² = c² = 25

E como b é ponto extremo do semieixo menor da elipse horizontal, conclui-se que sua abscissa é a mesma do centro, x = 3. E para y? Ora, temos a reta, y = -6 e descobrimos o nosso centro C(3; -6).

Lembrando o que escrevi acima, a² = 2c² (elevei ao quadrado), e como c² = 25, a² = 50

Na equação da elipse horizontal:

\frac{(x-x_c)^2}{a^2}+\frac{(y-y_c)^2}{b^2}=1

\frac{(x-3)^2}{50}+\frac{(y+6)^2}{25}=1