Logaritmo

por jvdbosa Seg 20 Jun 2016, 16:59

Encontre x e y sendo

$xy=40$

$x^{log y}=4$

Obrigado

por **ivomilton** Seg 20 Jun 2016, 18:17

jvdbosa escreveu:Encontre x e y sendo

$xy=40$

$x^{log y}=4$

Obrigado

Boa tarde, jvdbosa.

xy = 40
x^logy = 4

Passando para logaritmos, fica:
log(x) + log(y) = log(4) + log(10) = log(2²) + log(10) = 2*0,30103 + 1
log(x) + log(y) = 1,60206 (I)

log(y) * log(x) = log(4)
log(y) * log(x) = 0,60206 (II)

Aplicando (I) e (II) à fórmula z² - Sz + P = 0, fica:
z² - 1,60206*z + 0,60206 = 0

Resolvendo por Bhaskara. obtém-se:
z' = 10 (=x)
z" = 4 (=y)

(x,y) = (10;4)

Um abraço.

por jvdbosa Seg 20 Jun 2016, 20:25

Nossa, muito bom ivomilton! Nunca ia perceber a relação para aplicar em z² - Sz + P = 0

Obrigado!!

por jvdbosa Seg 20 Jun 2016, 21:50

ivomilton, usando a sua ideia eu consegui resolver a questão sem precisar saber o valor de log4 e log2 ou fazer contas complexas. Eu tinha achado estranho que sua solução tinha muitas contas difíceis, o que não é comum em provas.

$xy=40$

$log(x)+log(y)=log(40)$

e

$log\, (x^{log\: y})=log\: 4$
$log(x)\cdot log(y)=log\: 4$

Se fizermos $a=logx\; \; e\; \; b=logy$ , então $a+b=log40\; \; e\; \; ab=log4$

Aplicando a fórmula x² - Sx + P = 0 podemos achar as raízes a e b.

$x^2-log(40)x+log\: 4=0$

As raizes são:
$x=\frac{log(40)\pm \sqrt{log^2(40)-4\cdot log\: 4}}{2}$

Mas podemos escrever
${log^2(40)-4\cdot log\: 4}=(log\: 4+log\: 10)^2-4\cdot log\: 4=(log\: 4+1)^2-4\cdot log\: 4=(log^2\: 4+2 log\: 4+1)-4\cdot log\: 4=log^2\: 4-2log4+1=(log\: 4-1)^2$

Portanto as raízes são:
$x=\frac{log(40)\pm (log4-1)}{2}=\frac{(log4+1)\pm (log4-1)}{2}$

Para raiz com o sinal positivo: $x_{1}=\frac{2log4}{2}=log4$

Para raiz com o sinal negativo: $x_{2}=\frac{2}{2}=1$

Substituindo a e b:

$a=logx\Leftrightarrow log4=logx\Leftrightarrow \textbf{x=4}$

$b=logy\Leftrightarrow 1=logy\Leftrightarrow \textbf{y=10}$

Resposta: x=4 e y=10

por **ivomilton** Seg 20 Jun 2016, 22:54

jvdbosa escreveu:ivomilton, usando a sua ideia eu consegui resolver a questão sem precisar saber o valor de log4 e log2 ou fazer contas complexas. Eu tinha achado estranho que sua solução tinha muitas contas difíceis, o que não é comum em provas.

$xy=40$

$log(x)+log(y)=log(40)$

e

$log\, (x^{log\: y})=log\: 4$
$log(x)\cdot log(y)=log\: 4$

Se fizermos $a=logx\; \; e\; \; b=logy$ , então $a+b=log40\; \; e\; \; ab=log4$

Aplicando a fórmula x² - Sx + P = 0 podemos achar as raízes a e b.

$x^2-log(40)x+log\: 4=0$

As raizes são:
$x=\frac{log(40)\pm \sqrt{log^2(40)-4\cdot log\: 4}}{2}$

Mas podemos escrever
${log^2(40)-4\cdot log\: 4}=(log\: 4+log\: 10)^2-4\cdot log\: 4=(log\: 4+1)^2-4\cdot log\: 4=(log^2\: 4+2 log\: 4+1)-4\cdot log\: 4=log^2\: 4-2log4+1=(log\: 4-1)^2$

Portanto as raízes são:
$x=\frac{log(40)\pm (log4-1)}{2}=\frac{(log4+1)\pm (log4-1)}{2}$

Para raiz com o sinal positivo: $x_{1}=\frac{2log4}{2}=log4$

Para raiz com o sinal negativo: $x_{2}=\frac{2}{2}=1$

Substituindo a e b:

$a=logx\Leftrightarrow log4=logx\Leftrightarrow \textbf{x=4}$

$b=logy\Leftrightarrow 1=logy\Leftrightarrow \textbf{y=10}$

Resposta: x=4 e y=10

Boa noite, jvdbosa.

Parabéns pela resolução simplificada.
Como tive estudo formal em matemática, tendo aprendido um pouco aqui, outro pouco ali, geometria com um colega durante os intervalos em nosso trabalho no banco, não me preocupei em fazer de uma maneira mais simplificada.
Valeu e ficou realmente mais clara sua resolução!

Um abraço.

por Conteúdo patrocinado

Logaritmo

Logaritmo

Re: Logaritmo

Re: Logaritmo

Re: Logaritmo

Re: Logaritmo

Re: Logaritmo

Um fórum livre e democrático.