[EDO 2 Ordem] Não consigo resolver

Boa noite, 


Gostaria de saber se alguém poderia me ajudar com uma questão referente a EDO 2 Ordem não homogênea com coeficientes indeterminados.

 


Já tentei pesquisar e realmente não consigo resolver.

Grato desde já pela ajuda !

Olá amigo, veja que o fórum não permite que os enunciados das questões sejam feitos em imagens, conforme as regras postas em:

https://pir2.forumeiros.com/Regulamentos-h26.htm - Regra IX

Solução da questão:

Veja que a equação homogênea associada a EDO é 
y'-y = 0

cuja equação característica é dada por r-1=0 \rightarrow r=1

Logo teremos que a solução da equação homogênea é
y_H = c_1 e ^ {x}

A solução de nossa é EDO não-homogênea é dada por 
y = c_1e ^ {x} + y_P

Onde yP é uma solução particular. Para determinar uma delas, vamos utilizar o método do aniquilador. Correspondendo o operador derivada como D, podemos escrever (D-1)y=e^{x}
Para eliminarmos o termo não-homogêneo, aplicaremos o operador derivada D-1, pois D(e^{x})-e^{x}=0 . Logo,
(D-1)^2y=0 que tem como equação característica 

(r-1^2)=0 cuja raiz r=1 é dupla, logo a solução será

y_P=Ae^{x}+Bxe^{x}

Como queremos que yP satisfaça a EDO original. Como sabemos que o termo e^x zera ao aplicarmos o operador (D-1), podemos de cara fazer A=0:

(Bxe^{x})'-Bxe^{x}=e^{x}

Be^{x}+Bxe^{x}-Bxe^{x}=e^{x}

Be^{x}=e^{x}

Logo, B=1 o que resulta y_P=xe^{x}

Então a solução da EDO será 
y=c_1e^{x}+xe^{x}

A desculpa, não sabia.

Grato pela resposta !

Por acaso existe alguma forma de descobrir a yP pela equação característica?

Bvianna escreveu:

Por acaso existe alguma forma de descobrir a yP pela equação característica?

De um modo bem grosseiro, a equação característica só serve para descobrir as soluções de uma equação homogênea. Como na solução eu utilizei duas vezes, a primeira foi para a EDO homogênea associada e a outra foi para quando eu apliquei o aniquilador e encontrei outra homogênea. Então, para descobrir yP por este método você tem que eliminar o termo não-homogêneo aplicando o termo aniquilador e resolvendo a equação característica subsequente.

Qualquer dúvida, pode mandar.

Ai fica mais complicado ne, mais fácil usar o método do termo aniquilador. Obrigado pela ajuda ! Esse exercício deu dor de cabeça aqui haha

Tranquilo, abraço!