Dúvida sobre Números Complexos

Se eu tenho um número complexo z = x +iy  e seu conjugado z' = x -iy, 
e as equações a seguir: z.z'=4 e z²=(z')²
Como faço para descobrir os pontos de intersecção dos lugares geométricos das soluções dessas equações? 

Sendo que a solução da primeira nos dá x² + y² = 4 (equação de uma circunferência de raio 2 centrada na origem e |z| = 2)
e da segunda vem: z² - (z')² = (z + z')(z - z') = 0, Disso temos z = z' (número real) ou z = -z' (número imaginário puro).

A solução é S={-2, +2, -2i, +2i} 
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A minha dúvida, no entanto, é: se a solução da segunda equação é a união entre o conjunto dos reais e o conjunto dos imaginários puros, ou seja, é o conjunto dos complexos propriamente dito, então eu não teria infinitas "intersecções entre as soluções" dessas equações?

Quase lá.
De fato, a solução da segunda é a reunião entre os conjuntos dos reais e dos imaginários puros. No entanto, esta reunião não coincide com o conjunto dos números complexos.
O conjunto dos números complexos não é a reunião, mas sim o produto cartesiano dos conjuntos dos reais e dos imaginários puros.
É bem mais fácil compreender a questão de forma geométrica:
O conjunto dos reais é representado pelo eixo horizontal. O dos imaginários puros, pelo vertical. A sua reunião é, portanto, apenas a reunião de duas retas. No entanto, o conjunto dos complexos - que é o produto cartesiano - consiste no plano inteiro, isto é, as duas retas e os pontos de cada quadrante.
Espero que tenha sido claro. De todo modo, interessante dúvida a sua.

z²=(z')² =
(x + yi)² = (x - yi)² =>
x² + 2xyi - y² = x² - 2xyi - y² =>
4xyi = 0 => xy = 0 =>
x = 0 ou y = 0
se x = 0 => 0² + y² = 4 => y = 2 ou y = -2
do mesmo modo, temos:
se y = 0, x² + 0² = 4 => x = 2 ou x = -2
marcando esse pontos no plano de argand-gauss, encontramos os seguintes complexos: 2, -2, 2i, -2i

Entendi! Obrigado. A solução nos dá os pontos em que a circunferência toca os eixos coordenados (Im e Reais) apenas... Eu realmente imaginei que a reunião dos conjuntos reais com os imaginários puros dava os complexos, mas se assim fosse, não existiriam números complexos com uma parte real somada a outra imaginária, neh, rsrs.
O problema foi que eu pensei que z poderia ser um número imaginário puro e real ao mesmo tempo (o que é absurdo), mas pela solução temos que ou ele é imaginário puro ou é real.