Área do triângulo inscrito no paralelogramo

A figura abaixo, PQRS, é um paralelogramo de área 80 cm². Sabendo que M e N são ponto médios de seus lados, qual a área do triângulo PMN?

Gabarito:

Trace paralelas aos lados, subdividindo a área do paralelogramo.

juniorderrossi escreveu:A figura abaixo, PQRS, é um paralelogramo de área 80 cm². Sabendo que M e N são ponto médios de seus lados, qual a área do triângulo PMN?

Gabarito:

Bom dia, Junior.

Se considerarmos os lados QP e RS como sendo verticais, de modo que o paralelogramo tivesse a forma de um retângulo, os cálculos seriam os mesmos.
Faz então o esboço de um retângulo, identificando seus vértices com as mesmas letras.
Teremos:
QP = RS = a
QR = PS = b

O paralelogramo estaria dividido em 4 triângulos, dos quais os 3 exteriores seriam triângulos retângulos.
Áreas dos 3 triângulos retângulos:
QP = a
QN = b/2
S1 = (ab/2)/2 = ab/4

NR = b/2
MR = a/2
S2 = (a/2*b/2)/2 = ab/8

SM = a/2
SP = b
S3 = (a/2 * b)/2 = ab/4

S1+S2+S3 = ab/4 + ab/8 + ab/4 = 5ab/8

S(PMN) = S(paralelogramo) – (S1+S2+S3)
S(PMN) = ab – 5ab/8 = 8ab/8 - 8ab/8 = 3ab/8
S(PMN) = 3ab/8 = 3*80/8 = 3*10
S(PMN) = 30 m²


Um abraço.

Um modo mais fácil ainda, seguindo a ideia do Ivomilton, é usar um quadrado de lado a

a² = 80 ---> a = √80 ---> a = 4.√5

A área procurada á a diferença entre a área do quadrado e a área dos três triângulos (sendo dois iguais):

S1 = S2 = [a.(a/2)]2 ---> S1 = S2 = [(4.√5).(2.√5)]/2 ---> S1 = S2 = 20

S3 = (a/2).(a/2)/2 ---> S3 = (2.√5).(2.√5)/2 ---> S3 = 10

S = 80 - S1 - S2 - S3 ---> S = 80 - 20 - 20 - 10 ---> S = 30

Muito obrigado! Essas diferentes formas de resolver o mesmo problema me ajudou muito.

Achei na solução do Raimundo a mais elegante.
Uma outra solução possível, mostrando os cálculos algebricamente e sem mudar a figura, seria esta.

Sejam 2p e 2q as medidas dos lados do paralelogramo. M e N são pontos médios, então QN=NR=p e RM=MS=q.


Sendo os segmentos SR e SA convergentes em S, e sendo RA//MB, por Tales temos:
RM/AB = MS/BS -----> q/AB = q/BS  <==> AB = BS
Seja AB=BS= k. Então 2k é a altura do paralelogramo referente ao lado PS.

área PQRS -----> S = PS*SA = (2p).(2k) = 4pk = 80 ----->pk = 20

S2 = pk/2 = 10
S3 = 2p.k/2 = 20
S4 = p.2k/2 = 20

S1 = S - (S2 + S3 + S4) = 80 - 50 ------> S1 = 30.