Gradiente uniformemente decrescente

Caro colega, boa noite!

Tive que apagar minha resolução pois após verificar e conversar com o colega Jota-R chegamos à conclusão que deve existir algum erro no enunciado.
Teria como verificar se a taxa é de realmente 40% a.a.? 
Obrigado!

mrncstt escreveu:[size=48]A companhia XYZ está empenhada em um programa de redução de custos operacionais. O vice-presidente de operações tem estabelecido uma meta de economia para os próximos quatro anos que equivale a R$ 90.000,00 em valor presente. Ele estima que a companhia está em capacidade de economizar R$ 40.000,00 no primeiro ano, mas que a redução dos custos será mais difícil a cada ano. Espera-se que as economias sigam um gradiente uniformemente decrescente. Quais serão as reduções nos anos 2, 3 e 4 a fim de que a companhia alcance a meta estabelecida? A taxa de juros da companhia é de 40 % aa.
[/size]

jota-r, encontrei esse exercício (sem data) no fórum com a seguinte mensagem: "Caro colega, boa noite! Tive que apagar minha resolução pois após verificar e conversar com o colega Jota-R chegamos à conclusão que deve existir algum erro no enunciado. Teria como verificar se a taxa é de realmente 40% a.a.? Obrigado! baltuilhe."

Dei prosseguimento na solução, conforme abaixo, apenas para encontrar o erro no enunciado:

FV = 90.000,00
p = 40.000,00
i = 40% a.a. = 0,40 a.a.
n = 4 anos
g = ? (calcular as reduções significa calcular a razão de decrescimento g)

Como o enunciado não informa se o gradiente decrescente está em PA ou PG, segue o cálculo para os dois modos.

1) Valor presente de série postecipada em progressão aritmética decrescente:

PV = \frac{p \cdot \left[ \frac{(1+i)^n -1}{i}\right] - \frac{g}{i} \cdot \left[ \frac{(1+i)^n - 1}{i} - n \right]}{(1+i)^n}

Substituindo valores:

90000 = \frac{40000 \cdot \left[ \frac{(1+0,40)^4 -1}{0,40}\right] - \frac{g}{0,40} \cdot \left[ \frac{(1+0,40)^4 - 1}{0,40} - 4 \right]}{(1+0,40)^4}

90000 = \frac{40000 \times 7,104 - g \times 7,76} {3,8416}

345744 = 284160 - g \times 7,76

g = -7.936,08

Raiz negativa.

\boxed{\Rightarrow\;\text{Dados \;inconsistentes\;com\;PA.}}

2) Valor presente de série postecipada em progressão geométrica decrescente:

PV = p \left[\frac {1 - \left( \frac{1-g}{1+i} \right)^n} {i+g}\right]

Substituindo valores:

90000 = 40000 \left[\frac {1 - \left( \frac{1-g}{1+0,40} \right)^4} {0,40+g}\right]

2,25 \cdot (0,4+g) = 1 - 0,260308205 \cdot (1-g)^4

Pelo Wolfram-Alpha:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+2.25*(0.4%2Bx)+%3D+1+-+0.260308205*(1-x)%5E4&wal=header

g = -0.4
g = -0.179408
g = 2.2897 - 1.82725i
g = 2.2897 + 1.82725i

Duas raízes negativas e duas raízes complexas.

\boxed{\Rightarrow\;\text{Dados \;inconsistentes\;com\;PG.}}

Luiz 2017 escreveu:

mrncstt escreveu:[size=48]A companhia XYZ está empenhada em um programa de redução de custos operacionais. O vice-presidente de operações tem estabelecido uma meta de economia para os próximos quatro anos que equivale a R$ 90.000,00 em valor presente. Ele estima que a companhia está em capacidade de economizar R$ 40.000,00 no primeiro ano, mas que a redução dos custos será mais difícil a cada ano. Espera-se que as economias sigam um gradiente uniformemente decrescente. Quais serão as reduções nos anos 2, 3 e 4 a fim de que a companhia alcance a meta estabelecida? A taxa de juros da companhia é de 40 % aa.
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jota-r, encontrei esse exercício (sem data) no fórum com a seguinte mensagem: "Caro colega, boa noite! Tive que apagar minha resolução pois após verificar e conversar com o colega Jota-R chegamos à conclusão que deve existir algum erro no enunciado. Teria como verificar se a taxa é de realmente 40% a.a.? Obrigado! baltuilhe."

Dei prosseguimento na solução, conforme abaixo, apenas para encontrar o erro no enunciado:

FV = 90.000,00
p = 40.000,00
i = 40% a.a. = 0,40 a.a.
n = 4 anos
g = ? (calcular as reduções significa calcular a razão de decrescimento g)

Como o enunciado não informa se o gradiente decrescente está em PA ou PG, segue o cálculo para os dois modos.

1) Valor presente de série postecipada em progressão aritmética decrescente:

PV = \frac{p \cdot \left[ \frac{(1+i)^n -1}{i}\right] - \frac{g}{i} \cdot \left[ \frac{(1+i)^n - 1}{i} - n \right]}{(1+i)^n}

Substituindo valores:

90000 = \frac{40000 \cdot \left[ \frac{(1+0,40)^4 -1}{0,40}\right] - \frac{g}{0,40} \cdot \left[ \frac{(1+0,40)^4 - 1}{0,40} - 4 \right]}{(1+0,40)^4}

90000 = \frac{40000 \times 7,104 - g \times 7,76} {3,8416}

345744 = 284160 - g \times 7,76

g = -7.936,08

Raiz negativa.

\boxed{\Rightarrow\;\text{Dados \;inconsistentes\;com\;PA.}}

2) Valor presente de série postecipada em progressão geométrica decrescente:

PV = p \left[\frac {1 - \left( \frac{1-g}{1+i} \right)^n} {i+g}\right]

Substituindo valores:

90000 = 40000 \left[\frac {1 - \left( \frac{1-g}{1+0,40} \right)^4} {0,40+g}\right]

2,25 \cdot (0,4+g) = 1 - 0,260308205 \cdot (1-g)^4

Pelo Wolfram-Alpha:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+2.25*(0.4%2Bx)+%3D+1+-+0.260308205*(1-x)%5E4&wal=header

Duas raízes negativas e duas raízes complexas.

\boxed{\Rightarrow\;\text{Dados \;inconsistentes\;com\;PG.}}

Olá, Luiz.

Lembro-me bem deste exercício e lhe agradeço por ter confirmado a inconsistência do enunciado.

Baltuilhe é outro bom matemático que conheci no fórum. Não sei porque razão sumiu da área, o que para mim é mais uma perda considerável.

Sds.

Jota-r, Luiz, boa tarde!

Não sumi, não! O ano foi meio 'conturbado' e tenho estado ocupado fazendo outras milhares de tarefas! Sinto saudades das discussões aqui. Inclusive devo uma resposta de geometria que não me esqueci (só de postar...)

Abraços!

Feliz 2018!

baltuilhe escreveu:Jota-r, Luiz, boa tarde!

Não sumi, não! O ano foi meio 'conturbado' e tenho estado ocupado fazendo outras milhares de tarefas! Sinto saudades das discussões aqui. Inclusive devo uma resposta de geometria que não me esqueci (só de postar...)

Abraços!

Feliz 2018!

Olá, baltuilhe.

Que prazer contar com sua presença novamente aqui no fórum, embora provisória. Volte logo, pois precisamos de matemáticos e amigos como você em nosso convívio.

Que o ano novo que se aproxima seja pleno de alegria, saúde, paz e amor para você e sua família.

Um grande abraço.

jota-r escreveu:

baltuilhe escreveu:Jota-r, Luiz, boa tarde!

Não sumi, não! O ano foi meio 'conturbado' e tenho estado ocupado fazendo outras milhares de tarefas! Sinto saudades das discussões aqui. Inclusive devo uma resposta de geometria que não me esqueci (só de postar...)

Abraços!

Feliz 2018!

Olá, baltuilhe.

Que prazer contar com sua presença novamente aqui no fórum, embora provisória. Volte logo, pois precisamos de matemáticos e amigos como você em nosso convívio.

Que o ano novo que se aproxima seja pleno de alegria, saúde, paz e amor para você e sua família.

Um grande abraço.

Boa noite Baltuilhe.

Há poucos dias falava com jota-r que atualmente somos muito poucos postando aqui no fórum. Vejam este quadro abaixo em comparação com outros fóruns:

\begin{array} {|c|c|c|} \hline Ranking & Forum & Nr. \; de \; Mensagens \\ \hline 1 & Algebra & 97.275 \\ \hline 2 & Geometria \; Plana \; e \; Espacial & 38.564\\ \hline 3 & Trigonometria & 19.837\\ \hline 4 & Probabilidade \; e \; Analise \; Combinatoria & 18.128\\ \hline 5 & Matematica \; Financeira & 5.572\\ \hline \end{array}

Acho que poderíamos tentar postar mais.

Sds.