Inequação Logarítmica

por **Giovana Martins** Dom 11 Out 2015, 15:28

Determine o conjunto solução da equação log_0,5 (x-5) - log_0,5 (x) > log_0,5 (x+3):

C.E.: x > 5, x > 0 e x > -3

log_0,5 (x-5)/(x) > log_0,5 (x+3)

x-5 < x²+3x => x²+2x+5 > 0 (Como ∆ < 0 as raízes desta equação não entram na solução.)

Inequação Logarítmica 5nrjtx

S = ]-3,0[

Gostaria de saber se está correto.

Obs: Não possuo o gabarito desta questão.

por **Carlos Adir** Dom 11 Out 2015, 15:41

$\\ \mathrm{\log_{0,5}(x-5)-\log_{0,5}(x)>\log_{0,5}(x+3)} \\ \mathrm{\log_{0,5} \dfrac{x-5}{x} > \log_{0,5}(x+3)} \\ \mathrm{\dfrac{x-5}{x} < x+3} \\ \mathrm{x^2+3x > x-5} \\ \mathrm{x^2 + 2x+5 > 0 }$
Podes verificar que vale pra todo x. Assim, falta somente verificar a condição de existencia.
A condição de existência é tal que todos os logaritmos existam, ou seja, x-5 > 0 ----> x > 5.
O conjunto solução são todos os reais acima de 5.
O Wolfram confirma:
Wolfram

Você achou a condição de existência que x deve ser maior que 5. Então o intervalo que você achou não condiz!

por **Giovana Martins** Ter 13 Out 2015, 21:53

Carlos, então o correto seria ]5,+∞[? Pois, dessa maneira, não teríamos o cinco como solução, porque o intervalo é aberto nele e, como o intervalo pertence ao +∞, teríamos valores maiores que -3 e 5.