Sistema de logaritmos

por Yelyahb Qui 01 Out 2015, 19:39

Grupo! Preciso de ajuda nesse sistema aqui:
x^1/2 - y^1/2 = log (3, y/x)
2^(x+2) + 8^x = 5*4^y

Mexendo na segunda equação, achei que
4*2^x + 2^3x = 4*2^2y + 2^2y
Há alguma maneira de aproveitar essa relação?
Se não, como resolvo?

por **Elcioschin** Qui 01 Out 2015, 20:06

Analisando a 1ª equação, uma solução óbvia é y = x. Neste caso os dois membros serão nulos.

Fazendo y = x na 2ª equação:

4.2^x + (2^x)³ = 5.(2^x) ---> Dividindo por 2^x:

4 + (2^x)² = 5.2^x ---> (2^x)² - 5.2^x + 4 = 0 ---> Equação do 2º grau na variável 2^x---> Raízes: 1 e 4

2^x = 1 ---> 2^x = 2⁰ ---> x = 0 ---> y = 0 (não serve pois y/x = 0/0)

2^x = 4 ---> 2^x = 2² ---> x = 2 ---> y = 2

por Yelyahb Qui 01 Out 2015, 20:36

Tem como expressar algebricamente essa parte de x=y ser uma solução óbvia?

por **Elcioschin** Qui 01 Out 2015, 20:39

Faça um teste para x = y = 4

4^1/2 - 4^1/2 = log₃(4/4) ---> log1 = 0 em qualquer base

2 - 2 = 0 ----> 0 = 0

por Yelyahb Qui 01 Out 2015, 20:50

Certo... existe alguma garantia que a relação x=y é a única válida a partir da primeira equação?

por **Elcioschin** Sex 02 Out 2015, 09:31

Eu não dou nenhuma garantia. Sei apenas que esta solução é válida.

E você, tem o gabarito?

por Yelyahb Sex 02 Out 2015, 18:45

Peguei o gabarito hoje, estava certa sua resposta.
Segundo meu professor, a garantia de que x=y é a seguinte:
x^1/2 - y^1/2 = log (3, y/x)
x^1/2 + log(3, x) = y^1/2 + log(3, y)
log (3,(3^(x^1/2))) + log(3, x) = log(3,(3^(y^1/2))) + log(3,y)
x3^(x^(1/2)) = y3^(y^(1/2))
x=y

(Ufa)

Obrigada, Elcioschin!