Equação do Segundo Grau

por Matemathiago Sáb 29 Ago 2015, 16:34

Qual a condição para que uma equação do segundo grau, com os coeficientes a,b e c diferentes de 0, tenha 2 raízes racionais?

por **Elcioschin** Sáb 29 Ago 2015, 17:20

∆ é o discriminante ---> ∆ = b² - 4ac

Se ∆ < 0 ---> raízes complexas
Se ∆ = 0 ---> duas raízes reais iguais: x = - b/2a ---> Racionais
Se ∆ > 0 ---> duas raízes reais diferentes ---> x = (-b ± √∆)/2a ---> Racionais

Solução ---> ∆ >= 0

por Matemathiago Sáb 29 Ago 2015, 17:24

Quando ∆ e maior que zero, temos 2 raízes REAIS e não necessariamente racionais!

por **Elcioschin** Sáb 29 Ago 2015, 17:32

Um número REAL pode ser:

1) Um número inteiro ---> ... -2, -1, 0, 1, 2 ....
2) Um número irracional ---> √2, ∏, e, etc.
3) Um número racional ---> 1/2, 5/3, 5/5 = 1, etc.

Se o número NÃO for real ele é um número Imaginário (i, √2.i ...) ou complexo (1 + i, √3/2 + i/2 .....)

Assim, TODO número inteiro também é racional e TODO racional é REAL

por Matemathiago Sáb 29 Ago 2015, 17:37

Todo número racional é real, mas nem todos números reais são racionais!! Daí, quando delta for maior que 0, temos 2 raízes REAIS, mas não necessariamente RACIONAIS, e eu preciso de uma condição para que as raízes sejam RACIONAIS. A solução mencionada seria válida se a condição exigida fosse 2 raízes REAIS, pois pode resultar em um número irracional, o que não atende ao enunciado!

por **Elcioschin** Sáb 29 Ago 2015, 17:47

Acho que você não leu com atenção minha mensagem.

E você precisa saber a definição de número racional:

É todo número que pode ser escrito pela relação entre dois números inteiros. Ex.:

1/2 , 2/3, 17/8, 5/5, 4/2

Note que 5/5 = 1 e 4/2 = 2---> Logo 1 e 2 são racionais (além de serem inteiros, é claro)

Imagine que as raízes sejam x = 2 e x = - 1/3

As duas raízes são reais? É óbvio que sim!
As duas raízes são racionais? É óbvio que sim, pois -1/3 é racional e 2 também é racional ---> 1 = 2/2, 1 = 17/17, etc

por Matemathiago Sáb 29 Ago 2015, 17:51

A condição que você me informou é delta maior ou igual a 0, certo? Agora imagina delta= 3 ---É maior que zero? SIM, mas a solução da equação é real, mas não é racional!! No caso, seria irracional!! Ou seja, a solução ∆ ≥ 0 não atende ao enunciado!!!

por **Elcioschin** Sáb 29 Ago 2015, 18:04

Agora eu entendi sua colocação:

Outras condições para as raízes serem racionais (além de ∆ >= 0):

1) ∆ deve ser quadrado perfeito ---> b² - 4ac = k² ---> k racional ---> √∆ = k

Ex.: k = 1/2, k = 2, k = 0, etc.

2) b deve ser racional

3) a deve ser racional

O que você acha?

por Matemathiago Sáb 29 Ago 2015, 18:12

Bem, eu queria achar uma solução melhor elaborada, de modo que não simplesmente dissesse que a raiz quadrada de delta deve ser racional, uma vez que esse tipo de exercício sempre exige uma resolução mais detalhada, mas de qualquer forma, a condição mencionada não deixa de ser válida!

Obrigado pela ajuda!