Demonstração
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Demonstração
por lucastnagel Sex 28 Ago 2015, 09:39
Sendo dado um triangulo ABC retângulo em A, no qual AB = c, AC = b, AD = L, sendo AD a bissetriz do angulo reto. Demontre que (raiz de 2)/L = 1/b + 1/c
lucastnagel- Iniciante
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Re: Demonstração
por fantecele Qua 23 Jan 2019, 14:12
Considere o lado BC medindo "a" e os ângulos < ABD e < ACD iguais a x e y respectivamente.
Sendo AD bissetriz do ângulo reto temos que os ângulos < BAD e < DAC são iguais a 45°.
Usando o teorema dos ângulos externos podemos calcular facilmente os ângulos < ADB e < ADC, sendo eles, respectivamente, iguais a "45° + y" e "45° + x".
Aplicando a lei dos senos nos triângulos ADB e ADC iremos encontrar que:
}=\frac{L}{sen(x)}\rightarrow&space;\frac{1}{c}=\frac{sen(x)}{L.sen(45^{\circ}+y)}\,\,\,\,\,(I)\\\\\frac{b}{sen(45^{\circ}+x)}=\frac{L}{sen(y)}\rightarrow&space;\frac{1}{b}=\frac{sen(y)}{L.sen(45^{\circ}+x)}\,\,\,\,\,(II)\\\\(I)+(II)\\\\\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{sen(x)}{L.sen(45^{\circ}+y)}+\frac{sen(y)}{L.sen(45^{\circ}+x)}\\\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{sen(x)}{L.(sen(45^{\circ}).cos(y)+sen(y).cos(45^{\circ}))}+\frac{sen(y)}{L.(sen(45^{\circ}).cos(x)+sen(x).cos(45^{\circ}))} "\small \\\frac{c}{sen(45^{\circ}+y)}=\frac{L}{sen(x)}\rightarrow \frac{1}{c}=\frac{sen(x)}{L.sen(45^{\circ}+y)}\,\,\,\,\,(I)\\\\\frac{b}{sen(45^{\circ}+x)}=\frac{L}{sen(y)}\rightarrow \frac{1}{b}=\frac{sen(y)}{L.sen(45^{\circ}+x)}\,\,\,\,\,(II)\\\\(I)+(II)\\\\\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{sen(x)}{L.sen(45^{\circ}+y)}+\frac{sen(y)}{L.sen(45^{\circ}+x)}\\\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{sen(x)}{L.(sen(45^{\circ}).cos(y)+sen(y).cos(45^{\circ}))}+\frac{sen(y)}{L.(sen(45^{\circ}).cos(x)+sen(x).cos(45^{\circ}))}")
Sendo o triângulo ABC retângulo em A, é fácil calcular os valores para o seno e cosseno dos ângulos x e y, dessa forma, na expressão acima, iremos ter:
}+\frac{\frac{c}{a}}{L.\left&space;(\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{c}{a}+\frac{b}{a}.\frac{\sqrt{2}}{2}&space;\right&space;)}\\\\\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{\frac{b}{a}}{L.\frac{\sqrt{2}}{2}.\left&space;(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}&space;\right&space;)}+\frac{\frac{c}{a}}{L.\frac{\sqrt{2}}{2}.\left&space;(\frac{c}{a}+\frac{b}{a}&space;\right&space;)}\\\\\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{\left&space;(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}&space;\right&space;)}{L.\frac{\sqrt{2}}{2}.\left&space;(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}&space;\right&space;)}\\\\\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{1}{L.\frac{\sqrt{2}}{2}}\\\\\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{2}{L.\sqrt{2}}\\\\\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{\sqrt{2}}{L} "\small \\\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{\frac{b}{a}}{L.\left (\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{b}{a}+\frac{c}{a}.\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}+\frac{\frac{c}{a}}{L.\left (\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{c}{a}+\frac{b}{a}.\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}\\\\\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{\frac{b}{a}}{L.\frac{\sqrt{2}}{2}.\left (\frac{b}{a}+\frac{c}{a} \right )}+\frac{\frac{c}{a}}{L.\frac{\sqrt{2}}{2}.\left (\frac{c}{a}+\frac{b}{a} \right )}\\\\\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{\left (\frac{b}{a}+\frac{c}{a} \right )}{L.\frac{\sqrt{2}}{2}.\left (\frac{b}{a}+\frac{c}{a} \right )}\\\\\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{1}{L.\frac{\sqrt{2}}{2}}\\\\\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{2}{L.\sqrt{2}}\\\\\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{\sqrt{2}}{L}")
Sendo AD bissetriz do ângulo reto temos que os ângulos < BAD e < DAC são iguais a 45°.
Usando o teorema dos ângulos externos podemos calcular facilmente os ângulos < ADB e < ADC, sendo eles, respectivamente, iguais a "45° + y" e "45° + x".
Aplicando a lei dos senos nos triângulos ADB e ADC iremos encontrar que:
Sendo o triângulo ABC retângulo em A, é fácil calcular os valores para o seno e cosseno dos ângulos x e y, dessa forma, na expressão acima, iremos ter:
fantecele- Fera
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